下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第51题
📝 题目
51．计算积分 $\iint_{S} \cos (n, l) \mathrm{d} S$ ，其中
（1）$S$ 为 $R^{3}$ 中封闭光滑曲面，$I$ 为任何固定方向， $\boldsymbol{n}$ 为曲面 $S$ 的外法线方向。华东师大 2009 ，广州大学2009，华南师大 2010，北京科技 2005，西北师大 2007，华中师大，山东师大，北京科技 2005，武汉科技
2012）
（2）$S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 的上半球面．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\boldsymbol{l}$ 的单位向量为 $\boldsymbol{l}_{1}=(a, b, c), \boldsymbol{n}$ 的单位向量为 $\boldsymbol{n}_{1}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ，则
$$
\cos (n, l)=n_{1} \cdot l_{1}=a \cos \alpha+b \cos \beta+c \cos \gamma .
$$
由高斯公式得：
$$
\oiint_{S} \cos (n, l) \mathrm{d} S=\oiint_{S}(a \cos \alpha+b \cos \beta+c \cos \gamma) \mathrm{d} S=\iiint_{V}\left(\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{V} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 .
$$
（2）补充平面区域 $S_{1}: z=0\left(D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}\right)$ 的下侧，使 $S+S_{1}$ 为一闭曲面的内侧，围成的区域记作 $\boldsymbol{\Omega}$ ．
由高斯公式得
$$
\oiint_{S+S^{\prime}} \cos (n, l) \mathrm{d} S=\oiint_{S+S^{\prime}}(a \cos \alpha+b \cos \beta+c \cos \gamma) \mathrm{d} S=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 .
$$
又
$$
\oiint_{S^{\prime}} \cos (n, l) \mathrm{d} S=\oiint_{S^{\prime}} c \cos \gamma \mathrm{~d} S=-c \iint_{D_{\mathrm{ry}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\pi c R^{2}
$$
于是
$$
\oiint_{S} \cos (\vec{n}, \vec{l}) \mathrm{d} S=-\oiint_{S^{\prime}} c \cos \gamma \mathrm{~d} S=\pi c R^{2} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方向余弦转化为向量点积
设固定方向 $\boldsymbol{l}$ 的单位向量为 $\boldsymbol{l}_1 = (a, b, c)$，曲面 $S$ 的单位外法向量为 $\boldsymbol{n}_1 = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$，则 $\cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) = \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{l}_1 = a \cos \alpha + b \cos \beta + c \cos \gamma$。
公式：$\cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) = a \cos \alpha + b \cos \beta + c \cos \gamma$
提示：注意 $\boldsymbol{l}$ 是固定方向，其单位向量分量 $a,b,c$ 为常数。
步骤 2/7
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
对于封闭曲面 $S$，由高斯公式：
$$
\oiint_S (a \cos \alpha + b \cos \beta + c \cos \gamma) \, dS = \iiint_V \left( \frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial b}{\partial y} + \frac{\partial c}{\partial z} \right) dxdydz,
$$
其中 $V$ 是 $S$ 所围成的区域。由于 $a,b,c$ 是常数，其偏导数为零，故积分值为 $0$。
公式：高斯公式：$\oiint_S \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{F} \, dV$
提示：高斯公式要求曲面封闭且光滑，外法线方向。
步骤 3/7
目标：得出第一问结果
因此，$\oiint_S \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS = 0$。
提示：结果与方向 $\boldsymbol{l}$ 无关。
步骤 4/7
目标：处理第二问：补充平面构成封闭曲面
对于上半球面 $S: x^2+y^2+z^2=R^2, z \geq 0$，补充平面 $S_1: z=0, x^2+y^2 \leq R^2$，取下侧（即法向量向下），使得 $S \cup S_1$ 构成封闭曲面，且围成区域 $\Omega$（上半球体）。注意 $S$ 的法向量为外法线，$S_1$ 的法向量向下，因此整体是内侧。
提示：注意补充平面的法向方向要与原曲面构成封闭曲面的内侧或外侧一致，这里取内侧以便应用高斯公式。
步骤 5/7
目标：对封闭曲面应用高斯公式
对封闭曲面 $S \cup S_1$ 应用高斯公式（注意此时法向量指向内侧，高斯公式中法向量为外法线，因此需加负号）：
$$
\oiint_{S \cup S_1} \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS = - \iiint_\Omega \left( \frac{\partial a}{\partial x} + \frac{\partial b}{\partial y} + \frac{\partial c}{\partial z} \right) dV = 0.
$$
因此 $\oiint_S \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS = - \oiint_{S_1} \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS$。
公式：高斯公式（内侧法向加负号）
提示：注意法向方向导致的符号变化。
步骤 6/7
目标：计算补充平面上的积分
在平面 $S_1$ 上，法向量向下，即 $\boldsymbol{n}_1 = (0,0,-1)$，故 $\cos \alpha = 0, \cos \beta = 0, \cos \gamma = -1$。于是 $\cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot (-1) = -c$。因此
$$
\oiint_{S_1} \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS = \iint_{S_1} (-c) \, dS = -c \iint_{D_{xy}} dxdy = -c \cdot \pi R^2,
$$
其中 $D_{xy}: x^2+y^2 \leq R^2$。
公式：平面面积公式：$\iint_{D} dxdy = \pi R^2$
提示：注意 $S_1$ 的法向量方向，$\cos \gamma = -1$。
步骤 7/7
目标：得出第二问结果
由 $\oiint_S \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS = - \oiint_{S_1} \cos (\boldsymbol{n}, \boldsymbol{l}) \, dS = -(-c \pi R^2) = c \pi R^2$。
提示：结果与 $\boldsymbol{l}$ 的 $z$ 分量 $c$ 有关。
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