下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第52题
📝 题目
52．证明下列命题．
（1）设函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 及 $R(x, y, z)$ 在 $\mathbf{R}^{3}$ ．中有一阶连续偏导数．对任意实数 $r>0$ ，以及任意点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \mathbf{R}^{3}$ ，半球 面 $S: z=z_{0}+\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{0}\right)^{2}-\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ 上的积分 $\iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 成立。试证：$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=0, R=0$ 在 $\mathbf{R}^{3}$ 内处处成立．．
（2）设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 中有一阶连续偏导数。对任意 $r>0$ ，任意点 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{R}^{2}$ ，总有 $\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ 成立，其中 $L$ 为以 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$r>0$ 为半径的上半圆周，方向为逆时针。试证：在 $\mathbf{R}^{2}$ 内，$\displaystyle P \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0, R=0$ 处处成立．．
💡 答案解析
解题过程：
（1）补充平面区域 $S^{\prime}: z=z_{0}, D_{x y}:\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}$ ，取下侧。记 $S+S^{\prime}$ 所围空间区域为 $\Omega$ ．由高斯公式得
$$
\iint_{S+S^{\prime}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
由中值定理，存在一点 $M$ 使
又
$$
\begin{gathered}
\iiint_{\Omega}\left(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\left.\left(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\right)\right|_{M} \iiint_{\Omega} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\left.\frac{3}{2} \pi r^{3}\left(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\right)\right|_{M} \\
\iint_{S^{\prime}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{S^{\prime}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\end{gathered}
$$
由中值定理，存在一点 $M^{*}\left(x^{*}, y^{*}, z_{0}\right)$ 使 $\iint_{D_{x y}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=R\left(x^{*}, y^{*}, z_{0}\right) \pi r^{2}$ 。于是
$$
\begin{gather*}
\left.\frac{3}{2} \pi r^{3}\left(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\right)\right|_{M}=-\iint_{D_{\mathrm{x}}} R\left(x, y, z_{0}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-R\left(x^{*}, y^{*}, z_{0}\right) \pi r^{2}, \tag{1}\\
\left.\frac{3}{2} r\left(P_{x}+Q_{y}+R_{z}\right)\right|_{M}=-R\left(x^{*}, y^{*}, z_{0}\right) .
\end{gather*}
$$
即
$$
\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)_{M^{.}}=0 .
$$
由于 $r \rightarrow 0$ 有 $M^{*} \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，于是 $\displaystyle \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=0$ ．由 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \mathbf{R}^{3}$ 的任意性可知， $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=0$ 在 $\mathbf{R}^{3}$ 内处处成立．
（2）对任意点 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{R}^{2}$ ，令 $L_{1}=\left\{x \| x-x_{0} \mid \leqslant r\right\}$ ，方向取逆时针。由格林公式得
$$
\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L+L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text {, 其中 } D \text { 是由 } L+L_{1} \text { 围成的图形. }
$$
由中值定理，存在一点 $M$ 使
$$
\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L+L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left.\pi r^{2} \cdot\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\right|_{M} .
$$
另一方面，由积分中值定理得
$$
\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-2 r P\left(x_{1}, y_{0}\right) \text {, 其中 } P\left(x_{1}, y_{0}\right) \in L_{1} \text {. }
$$
比较两式可知
$$
\begin{align*}
& -2 r P\left(x_{1}, y_{0}\right)=\left.\pi r^{2} \cdot\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\right|_{M}, \tag{2}\\
& P\left(x_{1}, y_{0}\right)=-\left.\frac{1}{2} \pi r \cdot\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\right|_{M} .
\end{align*}
$$
让 $r \rightarrow 0$ 得 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ ．由 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{R}^{2}$ 的任意性，$P=0$ 在 $\mathbf{R}^{2}$ 内处处成立．
将 $P=0$ 代人（2）式得，
$$
\left.\frac{\partial Q}{\partial x}\right|_{M}=0 .
$$
令 $M \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 得 $\displaystyle \left.\frac{\partial Q}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=0$ ．由 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{R}^{2}$ 的任意性，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=0$ 在 $R^{2}$ 内处处成立．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造封闭曲面并应用高斯公式
对于任意点 $(x_0,y_0,z_0)$ 和半径 $r>0$，考虑半球面 $S: z=z_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}$，方向取上侧。补充平面区域 $S': z=z_0$，$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\le r^2$，取下侧。则 $S+S'$ 构成封闭曲面，围成区域 $\Omega$。由高斯公式：
$$
\iint_{S+S'} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\,dy\,dz.
$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：注意半球面的方向是上侧，补充平面取下侧，这样封闭曲面方向指向外侧。
步骤 2/8
目标：利用已知条件化简积分
由题设，对任意半球面 $S$ 有 $\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=0$，因此
$$
\iint_{S+S'} = \iint_{S'} = -\iint_{D_{xy}} R(x,y,z_0)\,dx\,dy,
$$
其中 $D_{xy}: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2\le r^2$。
提示：注意 $S'$ 取下侧，所以 $dx\,dy$ 的符号为负。
步骤 3/8
目标：应用中值定理得到关系式
对三重积分应用中值定理，存在点 $M\in\Omega$ 使得
$$
\iiint_\Omega (P_x+Q_y+R_z)\,dV = (P_x+Q_y+R_z)|_M \cdot \text{vol}(\Omega).
$$
半球体积为 $\frac{2}{3}\pi r^3$，故 $\text{vol}(\Omega)=\frac{2}{3}\pi r^3$。对二重积分应用中值定理，存在点 $(x^*,y^*,z_0)\in D_{xy}$ 使得
$$
\iint_{D_{xy}} R(x,y,z_0)\,dx\,dy = R(x^*,y^*,z_0)\cdot \pi r^2.
$$
代入得
$$
\frac{2}{3}\pi r^3 (P_x+Q_y+R_z)|_M = -\pi r^2 R(x^*,y^*,z_0).
$$
两边除以 $\pi r^2$ 得
$$
\frac{2}{3}r (P_x+Q_y+R_z)|_M = -R(x^*,y^*,z_0).
$$
公式：积分中值定理
提示：注意体积计算：半球体积为 $\frac{2}{3}\pi r^3$，不是 $\frac{4}{3}\pi r^3$。
步骤 4/8
目标：令半径趋于0得到第一个结论
令 $r\to 0$，则 $M\to (x_0,y_0,z_0)$，$(x^*,y^*,z_0)\to (x_0,y_0,z_0)$。上式左边趋于0，右边趋于 $-R(x_0,y_0,z_0)$，因此 $R(x_0,y_0,z_0)=0$。由 $(x_0,y_0,z_0)$ 的任意性，$R\equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^3$ 成立。代入关系式得
$$
\frac{2}{3}r (P_x+Q_y)|_M = 0,
$$
即 $(P_x+Q_y)|_M=0$。令 $r\to 0$ 得 $P_x+Q_y=0$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 成立，由任意性得 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=0$ 在 $\mathbb{R}^3$ 处处成立。
提示：注意极限过程：$r\to 0$ 时，$M$ 和 $(x^*,y^*,z_0)$ 都趋于 $(x_0,y_0,z_0)$。
步骤 5/8
目标：构造封闭曲线并应用格林公式（第二问）
对于任意点 $(x_0,y_0)$ 和半径 $r>0$，设上半圆周 $L: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, y\ge y_0$，方向逆时针。补充直径 $L_1: y=y_0, |x-x_0|\le r$，方向从左到右。则 $L+L_1$ 构成封闭曲线，围成区域 $D$（半圆）。由格林公式：
$$
\int_{L+L_1} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy.
$$
由题设，$\int_L P\,dx+Q\,dy=0$，故
$$
\int_{L_1} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy.
$$
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$
提示：注意 $L_1$ 的方向：从 $(x_0-r,y_0)$ 到 $(x_0+r,y_0)$，与 $L$ 的逆时针方向一致。
步骤 6/8
目标：计算直线积分并应用中值定理
在 $L_1$ 上，$y=y_0$，$dy=0$，故 $\int_{L_1} P\,dx+Q\,dy = \int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x,y_0)\,dx$。由积分中值定理，存在 $x_1\in[x_0-r,x_0+r]$ 使得
$$
\int_{x_0-r}^{x_0+r} P(x,y_0)\,dx = 2r P(x_1,y_0).
$$
对二重积分应用中值定理，存在点 $M\in D$ 使得
$$
\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Big|_M \cdot \text{area}(D) = \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Big|_M \cdot \frac{\pi r^2}{2}.
$$
代入得
$$
2r P(x_1,y_0) = \frac{\pi r^2}{2} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Big|_M.
$$
两边除以 $2r$ 得
$$
P(x_1,y_0) = \frac{\pi r}{4} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Big|_M.
$$
公式：积分中值定理
提示：半圆面积为 $\frac{\pi r^2}{2}$，不要误用整圆面积。
步骤 7/8
目标：令半径趋于0得到 $P\equiv 0$
令 $r\to 0$，则 $x_1\to x_0$，$M\to (x_0,y_0)$。上式右边趋于0，左边趋于 $P(x_0,y_0)$，因此 $P(x_0,y_0)=0$。由 $(x_0,y_0)$ 的任意性，$P\equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^2$ 处处成立。
提示：注意 $P$ 连续，所以极限等于函数值。
步骤 8/8
目标：代入 $P=0$ 得到 $\partial Q/\partial x=0$
将 $P\equiv 0$ 代入关系式 $2r P(x_1,y_0) = \frac{\pi r^2}{2} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Big|_M$，得 $0 = \frac{\pi r^2}{2} \left.\frac{\partial Q}{\partial x}\right|_M$，即 $\left.\frac{\partial Q}{\partial x}\right|_M=0$。令 $r\to 0$，$M\to (x_0,y_0)$，得 $\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)=0$。由任意性，$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^2$ 处处成立。
提示：注意 $P\equiv 0$ 意味着 $\partial P/\partial y=0$，所以只剩下 $\partial Q/\partial x$。
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