下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第53题
📝 题目
53．函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 和 $R(x, y, z)$ 在 $\mathbf{R}^{3}$ 上具有连续偏导数，并且对任意光滑曲面 $S$ ，
有 $\iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，证明：在 $R^{3}$ 上恒有 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
反证法．若存在点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 使得 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \neq 0$ ，不妨设 $\displaystyle \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)_{M_{0}}>0$ ．由于函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 和 $R(x, y, z)$ 在 $\mathbf{R}^{3}$ 上具有连续偏导数，即 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 连续。由保号性，存在 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的邻域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2} \leqslant r^{2}\right\}$ 及常数 $c>0$ ，使得当 $(x, y, z) \in \Omega$ 时，$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}>c>0$ ．
由高斯公式得
$$
\iint_{\partial \Omega} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \geqslant \iiint_{\Omega} c \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{4}{3} \pi r^{3} c>0
$$
这与题设矛盾．所以在 $\mathbf{R}^{3}$ 上恒有 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设结论不成立，构造反例
假设存在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 使得 $
frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \neq 0$，不妨设该点处散度大于0，即 $\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)_{M_0}>0$。
提示：注意反证法的假设：存在一点散度不为0，且可设大于0（若小于0可类似讨论）。
步骤 2/6
目标：利用连续性和保号性得到邻域
由于 $P,Q,R$ 具有连续偏导数，故散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 连续。由连续函数的保号性，存在 $M_0$ 的邻域 $\Omega = \{(x,y,z) \mid (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \leq r^2\}$ 及常数 $c>0$，使得在 $\Omega$ 内散度恒大于 $c$，即 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} > c > 0$。
提示：保号性要求函数连续，这里散度连续由偏导连续保证。
步骤 3/6
目标：应用高斯公式
对闭区域 $\Omega$ 应用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分：
$$
\iint_{\partial \Omega} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx\,dy\,dz.
$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_{\Omega} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dx dy dz$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，这里 $\partial \Omega$ 是球面外侧。
步骤 4/6
目标：利用散度下界估计积分
由于在 $\Omega$ 内散度 $>c$，故三重积分有下界：
$$
\iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx\,dy\,dz \geq \iiint_{\Omega} c \,dx\,dy\,dz = c \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 > 0.
$$
公式：球体积公式：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
提示：注意不等式方向：被积函数大于常数，积分大于常数乘体积。
步骤 5/6
目标：得出矛盾
因此，
$$
\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy \geq \frac{4}{3}\pi r^3 c > 0,
$$
这与题设条件“对任意光滑曲面 $S$，曲面积分为0”矛盾（因为 $\partial \Omega$ 是一个光滑曲面）。
提示：注意题设条件是对任意光滑曲面，包括球面。
步骤 6/6
目标：结论
所以假设不成立，在 $\mathbf{R}^3$ 上恒有 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$。
提示：反证法得证。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。