下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第54题
📝 题目
54．设对于半空间 $x>0$ 内的任意的分片光滑的有向封闭曲面 $S$ ，有
$$
\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{x y}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z-\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0
$$
其中函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上具有一阶连续导数，且 $f(0)=1$ ，求 $f(x)$ 。北京科技 2014）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 53 题知，$\displaystyle f^{\prime}(x)+\left(-\frac{x y}{1+x^{2}}\right)_{y}^{\prime}+(-1)_{z}^{\prime}=0$ ．于是
积分得
$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}(x)=\frac{x}{1+x^{2}} \\
& f(x)=\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+C
\end{aligned}
$$
由 $f(0)=1$ 得 $C=1$ ．于是 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并应用高斯公式
由题意，对于半空间 $x>0$ 内任意的分片光滑有向封闭曲面 $S$，曲面积分恒为零。根据高斯公式，对于封闭曲面，曲面积分等于三重积分，因此被积函数在任意区域上的三重积分为零，从而被积函数的散度为零。即：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0
$$
其中 $P = f(x)$, $Q = -\frac{xy}{1+x^2}$, $R = -1$。
公式：高斯公式：$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$
提示：注意曲面是有向封闭曲面，且半空间 $x>0$ 内任意封闭曲面均成立，故散度为零。
步骤 2/5
目标：计算散度并建立微分方程
计算各偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = f'(x), \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -\frac{x}{1+x^2}, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 0.
$$
代入散度为零条件：
$$
f'(x) - \frac{x}{1+x^2} = 0.
$$
即得微分方程：
$$
f'(x) = \frac{x}{1+x^2}.
$$
提示：注意 $Q$ 对 $y$ 求偏导时，$x$ 视为常数。
步骤 3/5
目标：求解微分方程
对 $f'(x) = \frac{x}{1+x^2}$ 积分：
$$
f(x) = \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C,
$$
其中 $C$ 为积分常数。
公式：$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$
提示：注意积分时使用凑微分法，$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}$。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数
已知 $f(0)=1$，代入得：
$$
1 = \frac{1}{2} \ln(1+0) + C = 0 + C,
$$
所以 $C=1$。
提示：注意 $\ln 1 = 0$。
步骤 5/5
目标：写出最终函数表达式
因此，所求函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + 1.
$$
提示：结果需满足定义域 $[0,+\infty)$。
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