下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第55题
📝 题目
55．设 $u(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，$S$ 为有界闭区域 $\Omega$ 的光滑边界曲面，记
$$
\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}
$$
💡 答案解析
证明：（1）$\displaystyle \oiint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{\Omega} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿曲面 S 外法线方向的方向导数．（广西师 大 2012，华中科技 2012，东南大学 2003）
（2）$u(x, y, z)$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 是的调和函数（即 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \equiv 0$ ）的充要条件是对 $\mathbf{R}^{3}$ 内的任意光滑简单闭曲线 $S$ ，总有 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ．（华中师大 2007）
\section*{解题过程：}
（1）设 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ．由方向导数的计算公式及 Gauss 公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S & =\iint_{S}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=\iint_{S} \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\end{aligned}
$$
（2）若 $u(x, y, z)$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的调和函数，则由（1）知 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ．
下证：若 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \equiv 0$ ．
由高斯公式得 $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．与 53 题同样的方法可得 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \equiv 0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方向导数转化为梯度与法向量的点积
设曲面 $S$ 的单位外法向量为 $\boldsymbol{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，则方向导数 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \boldsymbol{n} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \boldsymbol{n}$
提示：注意外法线方向，方向导数的定义中方向向量需为单位向量。
步骤 2/6
目标：将曲面积分转化为第二类曲面积分
利用方向余弦与坐标微元的关系：$\cos\alpha\,\mathrm{d}S = \mathrm{d}y\mathrm{d}z$，$\cos\beta\,\mathrm{d}S = \mathrm{d}z\mathrm{d}x$，$\cos\gamma\,\mathrm{d}S = \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，则原积分化为：
$$\iint_S \frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d}S = \iint_S \frac{\partial u}{\partial x}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \frac{\partial u}{\partial y}\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
公式：$\cos\alpha\,\mathrm{d}S = \mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 等
提示：注意方向余弦与坐标微元的对应关系，符号由法向量的方向决定。
步骤 3/6
目标：应用高斯公式将曲面积分化为三重积分
设 $\Omega$ 是由 $S$ 围成的有界闭区域，$\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$ 具有一阶连续偏导数，由高斯公式：
$$\iint_S \frac{\partial u}{\partial x}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \frac{\partial u}{\partial y}\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$
公式：高斯公式：$\iint_S P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$
提示：高斯公式要求 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 内有一阶连续偏导数，本题中 $u$ 具有二阶连续偏导数，故满足条件。
步骤 4/6
目标：得到第一部分的结论
由以上推导，即得：
$$\oiint_S \frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d}S = \iiint_\Omega \Delta u\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$$ 其中 $\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$。
提示：注意曲面积分符号 $\oiint$ 表示封闭曲面上的积分。
步骤 5/6
目标：证明必要性：调和函数推出积分为零
若 $u$ 是调和函数，即 $\Delta u \equiv 0$，则由（1）的结论，对任意光滑简单闭曲面 $S$，有
$$\oiint_S \frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d}S = \iiint_\Omega \Delta u\,\mathrm{d}V = 0.$$
提示：调和函数的定义是拉普拉斯算子恒为零。
步骤 6/6
目标：证明充分性：积分为零推出调和函数
假设对任意光滑简单闭曲面 $S$ 都有 $\oiint_S \frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d}S = 0$。由（1）知，对任意 $\Omega$，有 $\iiint_\Omega \Delta u\,\mathrm{d}V = 0$。由于 $\Omega$ 是任意的，且 $\Delta u$ 连续，则 $\Delta u \equiv 0$。否则，若存在点 $P$ 使 $\Delta u(P) > 0$，由连续性存在邻域 $U$ 使 $\Delta u > 0$，取 $\Omega \subset U$，则积分 $>0$，矛盾。同理 $\Delta u < 0$ 亦矛盾。故 $\Delta u \equiv 0$，即 $u$ 是调和函数。
提示：反证法：利用连续函数的局部保号性，若在某点不为零，则存在小区域积分非零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。