下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第57题
📝 题目
57．记 $\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}, \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}$ ．
（1）已知 $f(x, y, z)$ 和 $g(x, y, z)$ 在 $V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 上具有二阶连续的偏导数．证明： $\displaystyle \iiint_{V}(\nabla g \cdot \nabla f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(g \cdot \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $n$ 表示 $S$ 的外法线方向，$S$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
（2）若 $\Delta f=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，试计算 $\displaystyle I=\iiint_{V} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．（华 中 师 大 2010）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ，由方向导数的计算公式及 Gauss 公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S & =\iint_{S} g\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial f}{\partial z} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=\iint_{S} g \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+g \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+g \frac{\partial f}{\partial z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{V}\left[g\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right)+\frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z} \frac{\partial f}{\partial z}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\end{aligned}
$$
于是
$$
\iiint_{V}(\nabla g \cdot \nabla f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(g \cdot \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
（2）记 $g=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则
$$
\begin{gathered}
g_{x}=\frac{x}{g}, g_{y}=\frac{y}{g}, g_{z}=\frac{z}{g} ; g_{x x}=\frac{y^{2}+z^{2}}{g^{3}}, g_{y y}=\frac{x^{2}+z^{2}}{g^{3}}, g_{z z}=\frac{y^{2}+x^{2}}{g^{3}} . \\
g_{x x}+g_{y y}+g_{x x}=\frac{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{g^{3}}=\frac{2}{g} .
\end{gathered}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
I & =\iiint_{V}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{V}\left(g_{x} \frac{\partial f}{\partial x}+g_{y} \frac{\partial f}{\partial y}+g_{z} \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
\end{aligned}
$$
由（1）知，$\displaystyle I=\iiint_{V}(\nabla g \cdot \nabla f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(g \cdot \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。由高斯公式得
$$
\begin{aligned}
\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S & =\iint_{S} \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{\partial f}{\partial z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{V}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\iiint_{V}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1} r^{4} \sin \varphi \mathrm{~d} r=\frac{4}{5} \pi
\end{aligned}
$$
而
$$
\iiint_{V}(g \cdot \dot{\Delta f}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{V}\left(y^{2}+z^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1} r^{5} \sin \varphi \mathrm{~d} r=\frac{2}{3} \pi,
$$
于是 $\displaystyle I=\frac{4}{5} \pi-\frac{2}{3} \pi=\frac{2}{15} \pi$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目符号和已知条件
题目定义了拉普拉斯算子 $\Delta = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 和梯度算子 $\nabla = \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}$。已知 $f$ 和 $g$ 在单位球体 $V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 上具有二阶连续偏导数，$S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，$n$ 是 $S$ 的外法线方向。
提示：注意 $\nabla$ 是梯度算子，但这里写成了三个偏导数的和，实际上 $\nabla g \cdot \nabla f$ 表示点积。
步骤 2/7
目标：证明第一问的等式
首先，由方向导数的定义，$\frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot n = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma$，其中 $n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。因此，曲面积分 $\oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS = \oiint_S g (\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}\cos\gamma) dS$。利用向量点积形式，可化为 $\oiint_S g \frac{\partial f}{\partial x} dy dz + g \frac{\partial f}{\partial y} dz dx + g \frac{\partial f}{\partial z} dx dy$。然后应用高斯散度定理，将曲面积分转化为三重积分：$\iiint_V \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left(g\frac{\partial f}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(g\frac{\partial f}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(g\frac{\partial f}{\partial z}\right) \right] dxdydz$。计算偏导数：$\frac{\partial}{\partial x}\left(g\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x} + g\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$，类似地有 $y$ 和 $z$ 分量。求和得 $\iiint_V \left[ g\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right) + \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial z} \right] dxdydz = \iiint_V (g\Delta f + \nabla g \cdot \nabla f) dxdydz$。因此，移项即得 $\iiint_V \nabla g \cdot \nabla f dxdydz = \oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS - \iiint_V g\Delta f dxdydz$。
公式：高斯散度定理：$\oiint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV$
提示：注意高斯公式应用时，向量场 $\mathbf{F} = (g\frac{\partial f}{\partial x}, g\frac{\partial f}{\partial y}, g\frac{\partial f}{\partial z})$，其散度正是上述表达式。
步骤 3/7
目标：第二问：引入函数 $g$ 并化简被积表达式
第二问中，被积函数为 $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{\partial f}{\partial z}\right)$。注意到 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，即 $g_x$，其中 $g = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。类似地，$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = g_y$，$\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = g_z$。因此，$I = \iiint_V (g_x f_x + g_y f_y + g_z f_z) dxdydz = \iiint_V \nabla g \cdot \nabla f dxdydz$。
公式：$g = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$g_x = \frac{x}{g}$，$g_y = \frac{y}{g}$，$g_z = \frac{z}{g}$
提示：注意 $g$ 在原点处不可导，但积分区域包含原点，需注意 $g$ 在原点处无定义，但被积函数在原点处极限存在，积分仍可计算。
步骤 4/7
目标：利用第一问的公式计算 $I$
由第一问的结论，$I = \oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS - \iiint_V g \Delta f dxdydz$。现在需要计算这两个积分。已知 $\Delta f = x^2+y^2+z^2$。
公式：$I = \oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS - \iiint_V g \Delta f dxdydz$
提示：注意 $g$ 在球面 $S$ 上等于1，因为 $x^2+y^2+z^2=1$。
步骤 5/7
目标：计算曲面积分 $\oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS$
在球面 $S$ 上，$g=1$，所以 $\oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS = \oiint_S \frac{\partial f}{\partial n} dS$。由方向导数与梯度的关系，$\frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot n$，其中 $n$ 是外法向单位向量。在球面上，$n = (x,y,z)$（因为球面 $x^2+y^2+z^2=1$，外法向就是径向）。因此，$\oiint_S \frac{\partial f}{\partial n} dS = \oiint_S (x f_x + y f_y + z f_z) dS$。应用高斯公式，将曲面积分转化为三重积分：$\oiint_S (x f_x + y f_y + z f_z) dS = \iiint_V \left[ \frac{\partial}{\partial x}(x f_x) + \frac{\partial}{\partial y}(y f_y) + \frac{\partial}{\partial z}(z f_z) \right] dxdydz$。计算散度：$\frac{\partial}{\partial x}(x f_x) = f_x + x f_{xx}$，类似地，求和得 $f_x + f_y + f_z + x f_{xx} + y f_{yy} + z f_{zz}$。但注意，这里 $f_x, f_y, f_z$ 的散度不是简单的形式。另一种方法：直接利用高斯公式将 $\oiint_S \frac{\partial f}{\partial n} dS$ 转化为 $\iiint_V \Delta f dxdydz$，因为 $\frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot n$，而 $\oiint_S \nabla f \cdot n dS = \iiint_V \nabla \cdot (\nabla f) dV = \iiint_V \Delta f dV$。所以 $\oiint_S g \frac{\partial f}{\partial n} dS = \iiint_V \Delta f dxdydz = \iiint_V (x^2+y^2+z^2) dxdydz$。计算该三重积分：采用球坐标，$x^2+y^2+z^2 = r^2$，体积元 $dV = r^2 \sin\varphi dr d\varphi d\theta$，积分区域 $0\le r\le 1, 0\le \varphi\le \pi, 0\le \theta\le 2\pi$。则 $\iiint_V r^2 dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi d\varphi \int_0^1 r^4 dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}$。
公式：$\oiint_S \frac{\partial f}{\partial n} dS = \iiint_V \Delta f dV$
提示：注意这里 $g$ 在球面上为1，所以曲面积分简化为 $\oiint_S \frac{\partial f}{\partial n} dS$。另外，高斯公式应用时，向量场为 $\nabla f$。
步骤 6/7
目标：计算三重积分 $\iiint_V g \Delta f dxdydz$
由于 $g = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = r$，$\Delta f = x^2+y^2+z^2 = r^2$，所以被积函数 $g\Delta f = r \cdot r^2 = r^3$。三重积分 $\iiint_V r^3 dV$，在球坐标下：$\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi d\varphi \int_0^1 r^3 \cdot r^2 dr = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi d\varphi \int_0^1 r^5 dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2\pi}{3}$。
公式：$\iiint_V r^3 dV = \frac{2\pi}{3}$
提示：注意 $dV = r^2 \sin\varphi dr d\varphi d\theta$，所以 $r^3 dV = r^5 \sin\varphi dr d\varphi d\theta$。
步骤 7/7
目标：计算最终结果 $I$
将两个积分结果代入：$I = \frac{4\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} = \frac{12\pi}{15} - \frac{10\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}$。
提示：注意分数通分计算。
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