下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第58题
📝 题目
58．证明下列结论．
（1）设 $\Omega$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 中光滑有界区域，$\partial \Omega$ 为其边界，$u(x, y, z)$ 在 $\Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数，不恒为 0 ，满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\lambda u,(x, y, z) \in \Omega, u(x, y, z)=0,(x, y, z) \in \partial \Omega$ ，其中 $\lambda$ 为常数．证明：
$$
\iiint_{\Omega}|\operatorname{grad} u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \iiint_{\Omega} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 \text {. }
$$
（2）设 $u=u(t, x, y, z)$ 有二阶连续偏导数，为空间有界闭集，它有光滑边界 $\partial \Omega, \partial \Omega$ 外的单位外法向量为 $\boldsymbol{n}$ ，证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \cdot \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega}|\nabla \vec{u}|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ， $\displaystyle \nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）在57（1）中取 $f(x, y, z)=g(x, y, z)=u$ ，有
$$
\begin{aligned}
\iiint_{V}(\nabla u \cdot \nabla u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(u \cdot \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
\iiint_{\Omega}|\operatorname{grad} u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\iiint_{V}(\nabla u \cdot \nabla u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(u \cdot \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
& =\oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V} \lambda u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\end{aligned}
$$
由 $u(x, y, z)=0,(x, y, z) \in \partial \Omega$ 得 $\displaystyle \oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ 。故 $\iiint_{\Omega}|\operatorname{grad} u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \iiint_{\Omega} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（2）由高斯公式得
$$
\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \nabla u \mathrm{~d} S=\iiint_{\Omega} \nabla \cdot\left(\frac{\partial u}{\partial t} \nabla u\right) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} \nabla\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) \cdot \nabla u \mathrm{~d} V+\iiint_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \mathrm{~d} V .
$$
而
$$
\iiint_{\Omega} \nabla\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) \cdot \nabla u \mathrm{~d} V=\iiint_{\Omega} \frac{\partial}{\partial t}(\nabla u) \cdot \nabla u \mathrm{~d} V=\frac{1}{2} \iiint_{\Omega} \frac{\partial}{\partial t}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} V=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} V,
$$
故
$$
\iiint_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \cdot \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用格林第一公式
对于光滑有界区域 $\Omega$ 及其边界 $\partial\Omega$，格林第一公式为：
$$\iiint_\Omega (f \Delta g + \nabla f \cdot \nabla g) \, dV = \oiint_{\partial\Omega} f \frac{\partial g}{\partial n} \, dS.$$
取 $f = g = u$，则 $\nabla f \cdot \nabla g = |\nabla u|^2$，$f \Delta g = u \Delta u$，代入得：
$$\iiint_\Omega (u \Delta u + |\nabla u|^2) \, dV = \oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS.$$
公式：格林第一公式：$\iiint_\Omega (f \Delta g + \nabla f \cdot \nabla g) \, dV = \oiint_{\partial\Omega} f \frac{\partial g}{\partial n} \, dS$
提示：注意格林公式中法向导数的方向是外法向。
步骤 2/7
目标：利用边界条件化简面积分
由题目条件，在边界 $\partial\Omega$ 上 $u = 0$，因此面积分 $\oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = 0$。于是格林公式化为：
$$\iiint_\Omega (u \Delta u + |\nabla u|^2) \, dV = 0.$$
提示：边界条件 $u=0$ 是直接代入面积分的关键。
步骤 3/7
目标：代入泊松方程条件
题目中 $\Delta u = \lambda u$，代入上式得：
$$\iiint_\Omega (u \cdot \lambda u + |\nabla u|^2) \, dV = 0,$$
即
$$\iiint_\Omega |\nabla u|^2 \, dV + \lambda \iiint_\Omega u^2 \, dV = 0.$$
这正是要证明的结论。
提示：注意 $\Delta u = \lambda u$ 是方程，不是恒等式。
步骤 4/7
目标：应用散度定理于面积分
对于第二部分，考虑面积分 $\oiint_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS$。由于 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \boldsymbol{n}$，所以
$$\oiint_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \oiint_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} (\nabla u \cdot \boldsymbol{n}) \, dS = \iiint_\Omega \nabla \cdot \left( \frac{\partial u}{\partial t} \nabla u \right) \, dV,$$
其中最后一步使用了散度定理（高斯公式）。
公式：散度定理：$\oiint_{\partial\Omega} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, dS = \iiint_\Omega \nabla \cdot \boldsymbol{F} \, dV$
提示：注意 $\frac{\partial u}{\partial t} \nabla u$ 是一个向量场，其散度需按乘积法则展开。
步骤 5/7
目标：展开散度并整理
计算散度：
$$\nabla \cdot \left( \frac{\partial u}{\partial t} \nabla u \right) = \nabla \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \cdot \nabla u + \frac{\partial u}{\partial t} \nabla \cdot (\nabla u) = \nabla \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \cdot \nabla u + \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u.$$
因此
$$\oiint_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_\Omega \nabla \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \cdot \nabla u \, dV + \iiint_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \, dV.$$
公式：散度乘积法则：$\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{F}) = \nabla \phi \cdot \boldsymbol{F} + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{F}$
提示：注意 $\nabla \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right)$ 是梯度，而 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 是标量。
步骤 6/7
目标：交换求导顺序并处理时间导数
由于 $u$ 具有二阶连续偏导数，求导顺序可交换：$\nabla \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) = \frac{\partial}{\partial t} (\nabla u)$。于是
$$\iiint_\Omega \nabla \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) \cdot \nabla u \, dV = \iiint_\Omega \frac{\partial}{\partial t} (\nabla u) \cdot \nabla u \, dV = \frac{1}{2} \iiint_\Omega \frac{\partial}{\partial t} |\nabla u|^2 \, dV = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \iiint_\Omega |\nabla u|^2 \, dV,$$
其中最后一步将时间导数提出积分号（区域固定）。
公式：$\frac{\partial}{\partial t} (\nabla u) \cdot \nabla u = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} |\nabla u|^2$
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial t}$ 与 $\nabla$ 交换顺序需要函数光滑性保证。
步骤 7/7
目标：移项得到最终等式
将上一步结果代入散度展开式，得：
$$\oiint_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \iiint_\Omega |\nabla u|^2 \, dV + \iiint_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \, dV.$$
移项即得：
$$\iiint_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \, dV = \oiint_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \iiint_\Omega |\nabla u|^2 \, dV.$$
这正是要证明的结论。
提示：注意符号：移项后右边第二项是负号。
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