下册 9.3 第二型曲面积分及高斯公式 第59题
📝 题目
59．设 $\Omega$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 中光滑区域，$\partial \Omega$ 为其边界．$u, v$ 在 $\Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数．证明：
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} \Omega=\oiint_{S} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}(\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v) \mathrm{d} \Omega$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\mathrm{d} S$为边界上的面积元，$\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 。
💡 答案解析
解题过程：
（1）由 57 题得证．也可直接证明：
设 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ，由方向导数的计算公式及 Gauss 公式得
$$
\begin{aligned}
\iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S & =\iint_{\partial \Omega} u\left(\frac{\partial v}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial v}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial v}{\partial z} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=\iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+u \frac{\partial v}{\partial y} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+u \frac{\partial v}{\partial z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iiint_{V}\left[u\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right)+\frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial u}{\partial z}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
\end{aligned}
$$
于是
$$
\iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} \Omega=\oiint_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v \mathrm{~d} \Omega
$$
（2）由（1）得：
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} u\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial v}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z . \\
& \iiint_{\Omega} v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial v}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
\end{aligned}
$$
将上面两个式子相减得
$$
\iiint_{\Omega}\left[u\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right)-v\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
即
$$
\iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将曲面积分转化为坐标形式的曲面积分
设外法线方向向量为 $\boldsymbol{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，则方向导数 $\frac{\partial v}{\partial n} = \frac{\partial v}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial v}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial v}{\partial z}\cos\gamma$。代入曲面积分得：
$$\oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \, dS = \oiint_{\partial\Omega} u\left(\frac{\partial v}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial v}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial v}{\partial z}\cos\gamma\right) dS$$
利用方向余弦与坐标面积元的关系：$\cos\alpha\, dS = dy\,dz$，$\cos\beta\, dS = dz\,dx$，$\cos\gamma\, dS = dx\,dy$，得到：
$$\oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \, dS = \oiint_{\partial\Omega} u\frac{\partial v}{\partial x} dy\,dz + u\frac{\partial v}{\partial y} dz\,dx + u\frac{\partial v}{\partial z} dx\,dy$$
公式：方向导数公式：$\frac{\partial v}{\partial n} = \nabla v \cdot \boldsymbol{n}$；坐标面积元关系：$\cos\alpha\,dS = dy\,dz$ 等
提示：注意外法线方向，符号不能错；坐标面积元的方向性：$dy\,dz$ 对应 $x$ 方向的分量。
步骤 2/5
目标：应用高斯散度定理将曲面积分转化为三重积分
对上述曲面积分应用高斯散度定理：$\oiint_{\partial\Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$，其中向量场 $\mathbf{F} = (u\frac{\partial v}{\partial x}, u\frac{\partial v}{\partial y}, u\frac{\partial v}{\partial z})$。计算散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\left(u\frac{\partial v}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(u\frac{\partial v}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(u\frac{\partial v}{\partial z}\right)$$
利用乘积法则展开：
$$= \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} + u\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} + u\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z} + u\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}$$
整理得：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = u\Delta v + \nabla u \cdot \nabla v$$
其中 $\Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}$，$\nabla u \cdot \nabla v = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}$。
公式：高斯散度定理：$\oiint_{\partial\Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：注意散度计算中乘积法则的应用，不要遗漏项。
步骤 3/5
目标：整理得到第一格林公式
由高斯定理得：
$$\oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} (u\Delta v + \nabla u \cdot \nabla v) \, dV$$
移项即得第一格林公式：
$$\iiint_{\Omega} u\Delta v \, dV = \oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV$$
这就是题目（1）的结论。
公式：第一格林公式：$\iiint_{\Omega} u\Delta v \, dV = \oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV$
提示：移项时注意符号，$\iiint_{\Omega} u\Delta v \, dV$ 在等式左边。
步骤 4/5
目标：写出第二格林公式的推导准备
将第一格林公式中的 $u$ 和 $v$ 互换，得到另一个等式：
$$\iiint_{\Omega} v\Delta u \, dV = \oiint_{\partial\Omega} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla v \cdot \nabla u \, dV$$
注意 $\nabla v \cdot \nabla u = \nabla u \cdot \nabla v$，所以两个等式中的体积分项相同。
公式：第一格林公式的对称形式
提示：互换 $u$ 和 $v$ 时，注意边界项中方向导数也要相应改变。
步骤 5/5
目标：相减得到第二格林公式
将第一格林公式减去互换后的等式：
$$\left(\iiint_{\Omega} u\Delta v \, dV\right) - \left(\iiint_{\Omega} v\Delta u \, dV\right) = \left(\oiint_{\partial\Omega} u \frac{\partial v}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV\right) - \left(\oiint_{\partial\Omega} v \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \iiint_{\Omega} \nabla v \cdot \nabla u \, dV\right)$$
由于 $\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dV = \iiint_{\Omega} \nabla v \cdot \nabla u \, dV$，右边两项相消，得到：
$$\iiint_{\Omega} (u\Delta v - v\Delta u) \, dV = \oiint_{\partial\Omega} \left(u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \, dS$$
这就是题目（2）的结论，即第二格林公式。
公式：第二格林公式：$\iiint_{\Omega} (u\Delta v - v\Delta u) \, dV = \oiint_{\partial\Omega} \left(u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \, dS$
提示：相减时注意符号，体积分项正好抵消。
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