上海交通大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．（ 20 分）假设 $A$ 和 $B$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 的实矩阵，且满足条件
$$
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A-B)=0 .
$$
证明：对于任何实数 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，都有 $\displaystyle \operatorname{det}(x A+y B)=0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义多项式并代入已知条件
设 $f(t)=\det(A+tB)$，这是关于 $t$ 的多项式，次数不超过 3。由已知条件：$f(0)=\det(A)=0$，$f(1)=\det(A+B)=0$，$f(-1)=\det(A-B)=0$。
公式：$f(t)=\det(A+tB)$
提示：注意 $f(t)$ 是多项式，次数不超过矩阵阶数 3。
步骤 2/5
目标：分析多项式的根与次数
由于 $f(t)$ 有三个不同的根 $t=0,1,-1$，而 $f(t)$ 是三次多项式，因此 $f(t)$ 可表示为 $f(t)=c\,t(t-1)(t+1)$，其中 $c$ 是常数。
公式：$f(t)=c\,t(t-1)(t+1)$
提示：三次多项式最多有三个根，这里恰好有三个不同根，所以可因式分解。
步骤 3/5
目标：利用 $\det(B)=0$ 确定多项式次数
考虑 $f(t)$ 的展开式，$t^3$ 项的系数是 $\det(B)$。由条件 $\det(B)=0$，故 $t^3$ 系数为 0，所以 $f(t)$ 的次数不超过 2。
公式：$\det(B)=0$ 推出 $f(t)$ 中 $t^3$ 系数为 0
提示：注意 $\det(A+tB)$ 展开后，最高次项来自 $\det(tB)=t^3\det(B)$。
步骤 4/5
目标：推出多项式恒为零
由于 $f(t)$ 是次数不超过 2 的多项式，却有三个不同的根 $0,1,-1$，因此 $f(t)$ 只能是零多项式，即 $f(t)\equiv 0$ 对所有 $t$ 成立。
公式：$f(t)\equiv 0$
提示：非零多项式次数不超过 2 时最多有两个根，这里三个根迫使多项式为零。
步骤 5/5
目标：证明对任意 $x,y$ 行列式为零
对任意实数 $x,y$，若 $y\neq 0$，则 $\det(xA+yB)=y^3\det\left(\frac{x}{y}A+B\right)=y^3 f\left(\frac{x}{y}\right)=0$；若 $y=0$，则 $\det(xA)=x^3\det(A)=0$。因此总有 $\det(xA+yB)=0$。
公式：$\det(xA+yB)=y^3 f(x/y)$ 或 $x^3\det(A)$
提示：注意 $y=0$ 时单独处理，避免除以零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。