上海交通大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．（20分）设 $V$ 是复数域上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 到 $V$ 的线性算子 $\displaystyle \varphi$ 在 $V$上的作用如下：
$$
\varphi\left(\alpha_{1}\right)=5 \alpha_{1}, \varphi\left(\alpha_{2}\right)=5 \alpha_{2}, \varphi\left(\alpha_{3}\right)=3 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+5 \alpha_{3}, \varphi\left(\alpha_{4}\right)=6 \alpha_{4}
$$
（1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵 $A$ ．
（2）确定 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ．
（3）试找 $V$ 的一组新的基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在其下的矩阵为 $J$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求线性变换在给定基下的矩阵
设基为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$，则 $\varphi$ 在该基下的矩阵 $A$ 满足 $\varphi(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) A$。由已知：$\varphi(\alpha_1)=5\alpha_1$，$\varphi(\alpha_2)=5\alpha_2$，$\varphi(\alpha_3)=3\alpha_1+2\alpha_2+5\alpha_3$，$\varphi(\alpha_4)=6\alpha_4$。因此矩阵 $A$ 的列向量依次为各像的坐标，得 $A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$。
公式：$\varphi(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) A$
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序不能颠倒。
步骤 2/7
目标：求特征值及代数重数
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素：$\lambda_1=5$（出现3次），$\lambda_2=6$（出现1次）。所以特征值5的代数重数为3，特征值6的代数重数为1。
提示：上三角矩阵的特征值直接读对角线。
步骤 3/7
目标：求特征值5的几何重数
计算 $A-5I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，秩为2，所以几何重数 $=4-2=2$。
公式：几何重数 = dim Ker(A-λI) = n - rank(A-λI)
提示：几何重数等于线性无关特征向量的个数。
步骤 4/7
目标：确定若尔当标准型
特征值5的代数重数3，几何重数2，故若尔当块个数为2，且一个2阶块和一个1阶块。特征值6的代数重数1，几何重数1，故一个1阶块。因此若尔当标准型为 $J = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$。
公式：若尔当块个数 = 几何重数，各块阶数之和 = 代数重数
提示：注意若尔当块中1的位置在上次对角线。
步骤 5/7
目标：求特征值5的特征向量和广义特征向量
解 $(A-5I)v=0$，得特征向量 $v_1=(1,0,0,0)^T$，$v_2=(0,1,0,0)^T$。但为了构造若尔当链，需要广义特征向量。计算 $(A-5I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。取 $w=(0,0,1,0)^T$，则 $(A-5I)w=(3,2,0,0)^T \neq 0$，且 $(A-5I)^2 w=0$，所以 $w$ 是广义特征向量。令 $v_3=w$，则 $v_2' = (A-5I)v_3 = (3,2,0,0)^T$ 是特征向量。取 $v_1'=(1,0,0,0)^T$ 为另一个特征向量。
公式：$(A-\lambda I)^k v = 0$ 且 $(A-\lambda I)^{k-1} v \neq 0$
提示：广义特征向量需满足 $(A-\lambda I)^2 v=0$ 但 $(A-\lambda I)v \neq 0$。
步骤 6/7
目标：求特征值6的特征向量
解 $(A-6I)v=0$，$A-6I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为3，解得 $v_4=(0,0,0,1)^T$。
提示：注意解齐次线性方程组时，自由变量个数等于几何重数。
步骤 7/7
目标：构造新基并验证
取新基：$\beta_1 = v_1' = \alpha_1$，$\beta_2 = v_2' = 3\alpha_1+2\alpha_2$，$\beta_3 = v_3 = \alpha_3$，$\beta_4 = v_4 = \alpha_4$。验证：$\varphi(\beta_1)=5\beta_1$，$\varphi(\beta_2)=5\beta_2$，$\varphi(\beta_3)=5\beta_3+\beta_2$，$\varphi(\beta_4)=6\beta_4$，所以矩阵为 $J$。
公式：$\varphi(\beta_i)$ 的坐标构成矩阵的列
提示：注意若尔当链的顺序：特征向量在前，广义特征向量在后，且满足 $\varphi(\beta_3)=5\beta_3+\beta_2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。