上海交通大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（20分）已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+2 x_{4}=0 \\
x_{1}-2 x_{2}+(b-1) x_{3}+x_{4}=1 \\
4 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=a
\end{array}\right.
$$
解空间的维数是 2 ，求 $\displaystyle a, b$ 的值并求出方程组的通解．（题目表述有误，非齐次线性方程组的解集不构成线性空间，因此不存在＂维数＂一说）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与条件转化
题目说“解空间的维数是2”，但非齐次线性方程组的解集不构成线性空间。因此，应理解为对应齐次线性方程组的基础解系所含向量个数为2，即系数矩阵的秩为 \(n-2=4-2=2\)。
公式：秩 = n - 基础解系个数
提示：注意区分齐次与非齐次方程组，解空间维数仅针对齐次方程组。
步骤 2/7
目标：写出增广矩阵并作初等行变换
增广矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\
1 & -2 & b-1 & 1 & 1 \\
4 & -4 & 3 & 5 & a
\end{pmatrix}
\]
进行行变换：
\(R_2 - R_1\)，\(R_3 - 4R_1\) 得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & -4 & b-1 & -1 & 1 \\
0 & -12 & 3 & -3 & a
\end{pmatrix}
\]
再 \(R_3 - 3R_2\) 得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & -4 & b-1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 6-3b & 0 & a-3
\end{pmatrix}
\]
提示：注意第三行第二列元素为-12，减去3倍第二行（-4）得0，正确。
步骤 3/7
目标：利用秩条件确定参数
要使系数矩阵的秩为2，第三行必须全为零，即 \(6-3b=0\) 且 \(a-3=0\)。解得 \(b=2\)，\(a=3\)。
提示：注意是系数矩阵的秩为2，不是增广矩阵，因此只要求系数部分全零，常数项也要为零以保证相容性。
步骤 4/7
目标：代入参数并化简增广矩阵
代入 \(a=3\)，\(b=2\)，增广矩阵化为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & -4 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：注意第二行第三列元素：\(b-1=1\)。
步骤 5/7
目标：写出等价方程组
对应方程组为：
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 2x_4 = 0 \\
-4x_2 + x_3 - x_4 = 1
\end{cases}
\]
提示：注意第二行方程是 \(-4x_2 + x_3 - x_4 = 1\)，不要漏掉常数项。
步骤 6/7
目标：选择自由变量并求解
取 \(x_2\)，\(x_4\) 为自由变量，令 \(x_2 = k_1\)，\(x_4 = k_2\)。由第二方程得：
\(x_3 = 1 + 4k_1 + k_2\)。
由第一方程得：
\(x_1 = -2k_1 - 2k_2\)。
提示：注意自由变量的选取，通常选非主元列对应的变量。
步骤 7/7
目标：写出通解形式
通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ k_1
\begin{pmatrix}
-2 \\ 1 \\ 4 \\ 0
\end{pmatrix}
+ k_2
\begin{pmatrix}
-2 \\ 0 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad k_1, k_2 \in \mathbb{R}
\]
提示：注意特解是令自由变量全为0得到的，齐次解部分对应自由变量的系数向量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。