上海交通大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）计算 $A$ 的奇异值 $\displaystyle s_{1} \geq s_{2}>0$ ．
（2）写出 $A$ 的奇异值分解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算矩阵乘积 A A^T
计算 $A A^T$：
$$A A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1+1 & 1-1-1 \\ 1-1-1 & 1+1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}.$$
公式：$A A^T$ 是 $2 \times 2$ 矩阵
提示：注意矩阵乘法的维度匹配，$A$ 是 $2 \times 3$，$A^T$ 是 $3 \times 2$，乘积为 $2 \times 2$。
步骤 2/7
目标：求 A A^T 的特征值
求特征多项式：
$$\det(\lambda I - A A^T) = \begin{vmatrix} \lambda-3 & 1 \\ 1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-3)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda-2)(\lambda-4).$$
特征值为 $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 2$。
公式：$\det(\lambda I - M) = 0$
提示：计算行列式时注意符号，$\lambda I - A A^T$ 的对角线是 $\lambda-3$，非对角线是 $1$（因为 $A A^T$ 的非对角线是 $-1$，减去后变为 $1$）。
步骤 3/7
目标：计算奇异值
奇异值是特征值的平方根，且 $s_1 \geq s_2 > 0$，所以
$$s_1 = \sqrt{4} = 2, \quad s_2 = \sqrt{2}.$$
公式：$s_i = \sqrt{\lambda_i}$
提示：奇异值是非负的，取算术平方根。
步骤 4/7
目标：求左奇异向量矩阵 U
求 $A A^T$ 的单位正交特征向量。
对于 $\lambda_1=4$：解 $(A A^T - 4I)\mathbf{u}=0$，
$$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow u_1+u_2=0,$$
取 $\mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
对于 $\lambda_2=2$：解 $(A A^T - 2I)\mathbf{u}=0$，
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow u_1-u_2=0,$$
取 $\mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
所以
$$U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$U$ 的列是 $A A^T$ 的单位正交特征向量
提示：注意特征向量的顺序：$\mathbf{u}_1$ 对应较大特征值 $4$，$\mathbf{u}_2$ 对应 $2$。
步骤 5/7
目标：计算矩阵乘积 A^T A
计算 $A^T A$：
$$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.$$
公式：$A^T A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^T$ 是 $3 \times 2$，$A$ 是 $2 \times 3$，乘积为 $3 \times 3$。
步骤 6/7
目标：求右奇异向量矩阵 V
求 $A^T A$ 的单位正交特征向量，特征值为 $\lambda_1=4$, $\lambda_2=2$, $\lambda_3=0$。
对于 $\lambda_1=4$：解 $(A^T A - 4I)\mathbf{v}=0$，
$$\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow -2v_1=0, \; -2v_2-2v_3=0,$$
得 $v_1=0$, $v_2=-v_3$，取 $\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
对于 $\lambda_2=2$：解 $(A^T A - 2I)\mathbf{v}=0$，
$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow -2v_3=0, \; -2v_2=0,$$
得 $v_2=v_3=0$, $v_1$ 自由，取 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
对于 $\lambda_3=0$：解 $A^T A \mathbf{v}=0$，
$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow 2v_1=0, \; 2v_2-2v_3=0,$$
得 $v_1=0$, $v_2=v_3$，取 $\mathbf{v}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
注意顺序：$\mathbf{v}_1$ 对应 $s_1=2$，$\mathbf{v}_2$ 对应 $s_2=\sqrt{2}$，$\mathbf{v}_3$ 对应 $0$。
所以
$$V = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.$$
公式：$V$ 的列是 $A^T A$ 的单位正交特征向量
提示：特征向量需单位化，且顺序与奇异值对应。注意 $\mathbf{v}_2$ 对应 $\lambda_2=2$，但 $\lambda_2$ 对应 $s_2$，不是 $s_1$。
步骤 7/7
目标：构造奇异值分解
奇异值分解形式为 $A = U \Sigma V^T$，其中
$$\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.$$
因此
$$A = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.$$
公式：$A = U \Sigma V^T$
提示：注意 $V^T$ 是 $V$ 的转置，不是逆。验证时可用 $U^T A V = \Sigma$。
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