上海交通大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（20分）设 $V$ 是有限维内积空间， $\displaystyle \mathscr{P} \in L(V)$ 满足 $\displaystyle \mathscr{P}^{2}=\mathscr{P}$ ，证明： $\displaystyle \mathscr{P}$ 是某个子空间 $U$ 上的投影算子当且仅当 $\displaystyle \mathscr{P}$ 是自伴的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证命题
设 $V$ 是有限维内积空间，$\mathscr{P} \in L(V)$ 满足 $\mathscr{P}^2 = \mathscr{P}$。要证明：$\mathscr{P}$ 是某个子空间 $U$ 上的投影算子当且仅当 $\mathscr{P}$ 是自伴的。
公式：$\mathscr{P}^2 = \mathscr{P}$
提示：注意投影算子定义：$\mathscr{P}^2 = \mathscr{P}$ 是幂等性，但还需正交性才等价于自伴。
步骤 2/5
目标：证明必要性：若 $\mathscr{P}$ 是投影算子，则自伴
设 $\mathscr{P}$ 是子空间 $U$ 上的正交投影，则 $V = U \oplus U^\perp$。对任意 $x, y \in V$，分解 $x = u_1 + v_1$，$y = u_2 + v_2$，其中 $u_1, u_2 \in U$，$v_1, v_2 \in U^\perp$。则 $\mathscr{P}x = u_1$，$\mathscr{P}y = u_2$。计算内积：
$$\langle \mathscr{P}x, y \rangle = \langle u_1, u_2 + v_2 \rangle = \langle u_1, u_2 \rangle,$$
$$\langle x, \mathscr{P}y \rangle = \langle u_1 + v_1, u_2 \rangle = \langle u_1, u_2 \rangle.$$
因此 $\langle \mathscr{P}x, y \rangle = \langle x, \mathscr{P}y \rangle$，即 $\mathscr{P}$ 自伴。
公式：$\langle \mathscr{P}x, y \rangle = \langle x, \mathscr{P}y \rangle$
提示：正交投影的定义中，$U^\perp$ 是正交补，分解唯一。
步骤 3/5
目标：证明充分性：若 $\mathscr{P}$ 自伴且幂等，则它是正交投影
令 $U = \operatorname{Im} \mathscr{P}$，则 $U$ 是子空间。对任意 $x \in V$，有 $\mathscr{P}x \in U$。需证 $x - \mathscr{P}x \perp U$，即对任意 $u \in U$，$\langle x - \mathscr{P}x, u \rangle = 0$。
公式：$U = \operatorname{Im} \mathscr{P}$
提示：注意 $\operatorname{Im} \mathscr{P}$ 是 $\mathscr{P}$ 的像空间。
步骤 4/5
目标：利用自伴性证明 $x - \mathscr{P}x \perp U$
对任意 $u \in U$，存在 $y \in V$ 使得 $u = \mathscr{P}y$。则
$$\langle x - \mathscr{P}x, u \rangle = \langle x - \mathscr{P}x, \mathscr{P}y \rangle = \langle \mathscr{P}(x - \mathscr{P}x), y \rangle \quad (\text{由自伴性})$$
$$= \langle \mathscr{P}x - \mathscr{P}^2 x, y \rangle = \langle \mathscr{P}x - \mathscr{P}x, y \rangle = 0.$$
因此 $x - \mathscr{P}x \in U^\perp$，故 $\mathscr{P}$ 是到 $U$ 的正交投影。
公式：$\langle \mathscr{P}x, y \rangle = \langle x, \mathscr{P}y \rangle$
提示：自伴性用于将内积中的 $\mathscr{P}$ 从左边移到右边，注意 $\mathscr{P}^2 = \mathscr{P}$ 消去。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，$\mathscr{P}$ 是某个子空间上的投影算子当且仅当 $\mathscr{P}$ 是自伴的。命题得证。
提示：注意投影算子通常指正交投影，而非斜投影。
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