上海交通大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）证明：实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的内积空间 $V$ 中保持任意两个向量内积不变的变换一定是线性的，从而是正交变换。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
设 $T: V \to V$ 是保持内积不变的变换，即对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(T\alpha, T\beta) = (\alpha, \beta)$。需要证明 $T$ 是线性变换，从而为正交变换。
提示：注意：题目未假设 $T$ 是线性变换，需要从内积保持性推导线性性。
步骤 2/7
目标：证明加法保持性：构造范数平方
对任意 $\alpha, \beta \in V$，考虑 $\|T(\alpha+\beta) - T\alpha - T\beta\|^2$，并展开内积。
公式：$\|x\|^2 = (x, x)$
提示：利用范数平方的非负性，若为零则向量为零。
步骤 3/7
目标：展开范数平方并代入内积保持性
展开得：
\[
\begin{aligned}
\|T(\alpha+\beta) - T\alpha - T\beta\|^2 &= (T(\alpha+\beta), T(\alpha+\beta)) + (T\alpha, T\alpha) + (T\beta, T\beta) \\
&\quad - 2(T(\alpha+\beta), T\alpha) - 2(T(\alpha+\beta), T\beta) + 2(T\alpha, T\beta).
\end{aligned}
\]
利用 $T$ 保持内积，将每个内积替换为原像的内积：
\[
\begin{aligned}
&= (\alpha+\beta, \alpha+\beta) + (\alpha, \alpha) + (\beta, \beta) \\
&\quad - 2(\alpha+\beta, \alpha) - 2(\alpha+\beta, \beta) + 2(\alpha, \beta).
\end{aligned}
\]
公式：$(T\alpha, T\beta) = (\alpha, \beta)$
提示：注意展开时各项系数的正负号。
步骤 4/7
目标：化简表达式为零
进一步展开并合并同类项：
\[
\begin{aligned}
&= (\alpha, \alpha) + 2(\alpha, \beta) + (\beta, \beta) + (\alpha, \alpha) + (\beta, \beta) \\
&\quad - 2(\alpha, \alpha) - 2(\beta, \alpha) - 2(\alpha, \beta) - 2(\beta, \beta) + 2(\alpha, \beta) \\
&= 0.
\end{aligned}
\]
因此 $\|T(\alpha+\beta) - T\alpha - T\beta\|^2 = 0$，从而 $T(\alpha+\beta) - T\alpha - T\beta = 0$，即 $T(\alpha+\beta) = T\alpha + T\beta$。
提示：注意内积的对称性和双线性性，确保每一项正确合并。
步骤 5/7
目标：证明数乘保持性：构造范数平方
对任意 $\alpha \in V$ 和 $k \in \mathbb{R}$，考虑 $\|T(k\alpha) - kT\alpha\|^2$，并展开内积。
提示：类似加法证明，利用范数平方为零推出向量为零。
步骤 6/7
目标：展开并利用内积保持性化简
展开得：
\[
\begin{aligned}
\|T(k\alpha) - kT\alpha\|^2 &= (T(k\alpha), T(k\alpha)) + k^2(T\alpha, T\alpha) - 2k(T(k\alpha), T\alpha) \\
&= (k\alpha, k\alpha) + k^2(\alpha, \alpha) - 2k(k\alpha, \alpha) \\
&= k^2(\alpha, \alpha) + k^2(\alpha, \alpha) - 2k^2(\alpha, \alpha) = 0.
\end{aligned}
\]
因此 $T(k\alpha) - kT\alpha = 0$，即 $T(k\alpha) = kT\alpha$。
公式：$(k\alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$
提示：注意数乘内积的线性性，$k$ 可以提出。
步骤 7/7
目标：总结线性性与正交性
由加法保持性和数乘保持性，$T$ 是线性变换。又因为 $T$ 保持内积，即 $(T\alpha, T\beta) = (\alpha, \beta)$，所以 $T$ 是正交变换。
提示：正交变换的定义：保持内积的线性变换。
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