上海交通大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）任取数域 $F$ 上的一个 $\displaystyle m \times n$ 的矩阵 $\displaystyle A, n \times s$ 的矩阵 $B$ ．
（1）证明：$\displaystyle r(A B)+n \geq r(A)+r(B)$ ，此处 $r$ 为矩阵的秩函数．
（2）证明：上述等式成立当且仅当 $\displaystyle N(A) \subset C(B)$ ，此处 $\displaystyle N(A)$ 为矩阵 $A$ 的零空间，$\displaystyle C(B)$ 为矩阵 $B$ 的列空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入Sylvester秩不等式
Sylvester秩不等式：对于数域$F$上的矩阵$A_{m\times n}$和$B_{n\times s}$，有$r(A)+r(B)-n \leq r(AB)$。
公式：r(A)+r(B)-n \leq r(AB)
提示：注意不等式方向，不要写反。
步骤 2/6
目标：移项得到所需不等式
将Sylvester不等式移项，即得$r(AB)+n \geq r(A)+r(B)$。
公式：r(AB)+n \geq r(A)+r(B)
提示：移项时注意符号变化。
步骤 3/6
目标：利用维数公式表示秩
考虑线性映射$B: F^s \to F^n$，$A: F^n \to F^m$。则$\operatorname{Im}B$是$F^n$的子空间，$\ker A$是$F^n$的子空间。由维数公式：$r(AB) = r(B) - \dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B)$。
公式：r(AB) = r(B) - \dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B)
提示：注意$\operatorname{Im}B$即$C(B)$，$\ker A$即$N(A)$。
步骤 4/6
目标：代入等式条件
假设等式$r(AB)+n = r(A)+r(B)$成立。将$r(AB)$表达式代入，并利用$r(A)=n-\dim\ker A$，得：$r(B)-\dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B)+n = (n-\dim\ker A)+r(B)$，化简得$\dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B) = \dim\ker A$。
公式：\dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B) = \dim\ker A
提示：化简时注意消去相同项。
步骤 5/6
目标：推导包含关系
由于$\ker A \cap \operatorname{Im}B \subseteq \ker A$，且维数相等，故$\ker A \cap \operatorname{Im}B = \ker A$，即$\ker A \subseteq \operatorname{Im}B$，也就是$N(A) \subset C(B)$。必要性得证。
公式：\ker A \subseteq \operatorname{Im}B
提示：子空间维数相等且包含则相等。
步骤 6/6
目标：证明充分性
若$N(A) \subset C(B)$，即$\ker A \subseteq \operatorname{Im}B$，则$\ker A \cap \operatorname{Im}B = \ker A$，从而$\dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B) = \dim\ker A$。代入$r(AB)=r(B)-\dim(\ker A \cap \operatorname{Im}B)$得$r(AB)=r(B)-\dim\ker A$。又$r(A)=n-\dim\ker A$，所以$r(AB)=r(B)+r(A)-n$，即$r(AB)+n=r(A)+r(B)$。充分性得证。
公式：r(AB)+n=r(A)+r(B)
提示：注意维数公式的正确使用。
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