上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $p, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}$ 是互不相同的素数，则多项式 $f(x)=x^{p}-p_{1} p_{2} \cdots p_{s}$ 在有理数域上 $\_\_\_\_$ （可约／不可约）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别多项式形式
给定多项式 $f(x)=x^{p}-p_{1}p_{2}\cdots p_{s}$，其中 $p, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}$ 是互不相同的素数。这是一个二项式，次数为 $p$，常数项为 $-p_{1}p_{2}\cdots p_{s}$。
提示：注意常数项是负的，但符号不影响整除性。
步骤 2/7
目标：回忆艾森斯坦判别法
艾森斯坦判别法：设 $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ 是整系数多项式。若存在素数 $q$ 满足：
1. $q \nmid a_n$；
2. $q \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0$；
3. $q^2 \nmid a_0$，
则 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
公式：\text{若存在素数 } q \text{ 满足条件，则 } f(x) \text{ 不可约。}
提示：注意条件中 $q$ 不能整除最高次项系数，且 $q^2$ 不能整除常数项。
步骤 3/7
目标：选择素数 q
取 $q = p_1$（或任意一个 $p_i$），因为 $p_1$ 是素数且与其他素数互异。
提示：确保选择的 $q$ 是素数，且出现在常数项的素因子中。
步骤 4/7
目标：验证条件1：q 不整除最高次项系数
最高次项系数 $a_p = 1$，而 $q = p_1$ 是素数，$p_1 \nmid 1$，条件1成立。
提示：1 不能被任何素数整除。
步骤 5/7
目标：验证条件2：q 整除所有低次项系数
多项式 $f(x)=x^p - p_1p_2\cdots p_s$ 中，除 $x^p$ 项和常数项外，其余项系数均为0。0能被任何素数整除，因此 $p_1 \mid 0$ 成立。常数项 $a_0 = -p_1p_2\cdots p_s$，显然 $p_1 \mid a_0$。条件2成立。
提示：注意0能被任何非零整数整除。
步骤 6/7
目标：验证条件3：q^2 不整除常数项
常数项 $a_0 = -p_1p_2\cdots p_s$，由于 $p_1, p_2, \dots, p_s$ 是互不相同的素数，$p_1$ 在乘积中只出现一次，因此 $p_1^2 \nmid a_0$。条件3成立。
提示：因为素数互异，所以 $p_1$ 的指数为1，$p_1^2$ 不能整除。
步骤 7/7
目标：应用艾森斯坦判别法得出结论
所有条件满足，由艾森斯坦判别法，多项式 $f(x)=x^p - p_1p_2\cdots p_s$ 在有理数域上不可约。
提示：艾森斯坦判别法给出的是不可约的充分条件。
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