📝 上海大学 2025年高等代数真题

1．设 $p, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{s}$ 是互不相同的素数，则多项式 $f(x)=x^{p}-p_{1} p_{2} \cdots p_{s}$ 在有理数域上 $\_\_\_\_$ （可约／不可约）．

2．（可能有误）三阶矩阵 $A$ 的行列式因子为 $1, x-2,(x-2)^{2}(x-3)^{2}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

3．设 5 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，且 $r(A)=4$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

4．线性空间 $V$ 是由 3 阶实矩阵关于矩阵加法和数乘运算构成的实线性空间，记

$$
V_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}, V_{2}=\left\{\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} \mid a_{i j}=0, \forall i$$

则 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}-a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$时，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ．

6．多项式 $x^{3}-1$ 与 $x^{5}-1$ 的最大公因式为 1 ．

7．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，则 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{1}+2 \alpha_{3}$ 也线性无关．

8．若 $U, V$ 时 $\mathbb{F}^{n}$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=n$ ，则 $\mathbb{F}^{n}=U \oplus V$ ．

9．对任意实矩阵 $A_{m \times n}$ ，都有 $E+A^{T} A$ 为正定矩阵．

10．设 $U$ 是实内积空间 $V$ 上的一个线性变换的一个有限维不变子空间，则 $U$ 的正交补空间 $U^{\perp}$ 也是线性变换的不变子空间．

11．（15 分）已知线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-2 b x_{2}+2 x_{4}=1 \\
x_{1}-2 x_{2}+(a-1) x_{3}+x_{4}=2 \\
2 x_{1}-4 b x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=b
\end{array}\right.
$$

有三个线性无关的解，求参数 $a, b$ 和该方程组的通解．

12．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵，$n \geq 3$ ．
（1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ．
（2）求 $A^{10}$ ．

13．（15 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶非零矩阵，且 $A^{2}=A, B^{2}+B=O$ ．
（1）证明：$\mu=1$ 和 $\lambda=-1$ 分别是 $A, B$ 的特征值．
（2）若 $A B=B A=O, \alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的特征向量，$\beta$ 是 $B$ 的属于特征值 -1 的特征向量，证明：$\alpha, \beta$ 线性无关．

14．（15 分）设 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $m \times n$ 实矩阵，$B$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $(n-m) \times n$ 实矩阵，令

$$
V_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, V_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}
$$

已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明： $\mathbb{R}^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

15．（20分）（可能有误）设矩阵 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶复矩阵，且 $A, B$ 无公共的特征值．如果 $A, B$ 可对角化，证明：对任意的 $m \times n$ 复矩阵 $C$ ，矩阵 $H=\left(\begin{array}{cc}2 A & C \\ O & 3 B\end{array}\right)$ 可对角化．

16．（20 分）已知矩阵 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & B\end{array}\right)$ ，其中 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶实矩阵，$C$ 为 $m \times n$ 实矩阵，且 $A, B$ 实对称．证明或否定下列命题：
（1）如果 $D$ 正定，则 $A, B$ 可逆。
（2）如果 $D$ 正定，则 $B-C^{T} A^{-1} C$ 也正定．

二．判断题．每题 5 分，共 25 分．正确请说明理由，错误请举出反例．