上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
12．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵，$n \geq 3$ ．
（1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ．
（2）求 $A^{10}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算特征多项式
由 $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$，计算特征多项式：$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda&-1&0\\-1&\lambda&-1\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda^2-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$。
公式：$|\lambda E-A|=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$
提示：注意行列式的计算，按第三行展开可简化。
步骤 2/7
目标：应用Hamilton-Cayley定理
由Hamilton-Cayley定理，矩阵满足其特征多项式，即 $(A-E)^2(A+E)=0$。展开得 $(A^2-2A+E)(A+E)=A^3+A^2-2A^2-2A+A+E=A^3-A^2-A+E=0$，故 $A^3=A^2+A-E$。
公式：$A^3=A^2+A-E$
提示：注意展开时合并同类项，不要漏项。
步骤 3/7
目标：数学归纳法基础步骤
当 $n=3$ 时，$A^3=A^2+A-E=A^{1}+A^2-E$，即 $A^3=A^{3-2}+A^2-E$，命题成立。
提示：验证n=3时等式成立。
步骤 4/7
目标：数学归纳法归纳步骤
假设 $n=k$ 时成立，即 $A^k=A^{k-2}+A^2-E$。则 $n=k+1$ 时，$A^{k+1}=A\cdot A^k=A(A^{k-2}+A^2-E)=A^{k-1}+A^3-A$。代入 $A^3=A^2+A-E$ 得 $A^{k+1}=A^{k-1}+(A^2+A-E)-A=A^{k-1}+A^2-E$，即 $A^{k+1}=A^{(k+1)-2}+A^2-E$。故对一切 $n\ge 3$ 成立。
提示：注意递推时正确使用归纳假设和已知的$A^3$表达式。
步骤 5/7
目标：利用递推公式化简$A^{10}$
由递推公式 $A^n=A^{n-2}+A^2-E$，反复使用：$A^{10}=A^8+A^2-E$，$A^8=A^6+A^2-E$，$A^6=A^4+A^2-E$，$A^4=A^2+A^2-E=2A^2-E$。代入得 $A^{10}= (2A^2-E) + (A^2-E) + (A^2-E) + A^2-E = 5A^2-4E$。
公式：$A^{10}=5A^2-4E$
提示：注意每次递推时$A^2-E$项累加，不要漏掉常数项。
步骤 6/7
目标：计算$A^2$
计算 $A^2 = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：$A^2=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
提示：矩阵乘法注意行乘列，尤其第三行。
步骤 7/7
目标：代入计算$A^{10}$
代入 $A^{10}=5A^2-4E = 5\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} - 4\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&0&5\\0&5&5\\0&0&5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&5\\0&0&1\end{pmatrix}$。
公式：$A^{10}=\begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&5\\0&0&1\end{pmatrix}$
提示：注意矩阵减法是对应元素相减。
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