上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
13．（15 分）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶非零矩阵，且 $A^{2}=A, B^{2}+B=O$ ．
（1）证明：$\mu=1$ 和 $\lambda=-1$ 分别是 $A, B$ 的特征值．
（2）若 $A B=B A=O, \alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的特征向量，$\beta$ 是 $B$ 的属于特征值 -1 的特征向量，证明：$\alpha, \beta$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明1是A的特征值
由 $A^2 = A$ 知 $A$ 是幂等矩阵。由于 $A$ 非零，存在非零向量 $x$ 使得 $Ax \neq 0$。计算 $A(Ax) = A^2 x = A x$，所以 $Ax$ 是 $A$ 的属于特征值 $1$ 的特征向量，因此 $1$ 是 $A$ 的特征值。
公式：A^2 = A
提示：注意特征向量必须非零，这里构造的 $Ax$ 非零是因为 $A$ 非零且 $x$ 选取使得 $Ax \neq 0$。
步骤 2/6
目标：证明-1是B的特征值
由 $B^2 + B = O$ 得 $B^2 = -B$。由于 $B$ 非零，存在非零向量 $y$ 使得 $By \neq 0$。计算 $B(By) = B^2 y = -B y$，所以 $By$ 是 $B$ 的属于特征值 $-1$ 的特征向量，因此 $-1$ 是 $B$ 的特征值。
公式：B^2 + B = O
提示：注意 $B^2 = -B$ 的推导，以及 $By$ 非零的保证。
步骤 3/6
目标：假设线性相关并左乘A
已知 $A\alpha = \alpha$，$B\beta = -\beta$，且 $AB = BA = O$。假设存在数 $k_1, k_2$ 使得 $k_1 \alpha + k_2 \beta = 0$。左乘 $A$ 得：$A(k_1 \alpha + k_2 \beta) = k_1 A\alpha + k_2 A\beta = k_1 \alpha + k_2 \cdot 0 = k_1 \alpha = 0$。
公式：A\alpha = \alpha, A\beta = 0
提示：注意 $A\beta = 0$ 是因为 $AB=O$ 且 $\beta$ 是 $B$ 的特征向量，但更直接地，由 $AB=O$ 得 $A(B\beta)=A(-\beta)= -A\beta = 0$，所以 $A\beta=0$。
步骤 4/6
目标：由A左乘结果得k1=0
由 $k_1 \alpha = 0$，且 $\alpha \neq 0$（特征向量非零），所以 $k_1 = 0$。
提示：特征向量非零是重要前提。
步骤 5/6
目标：左乘B得k2=0
将 $k_1=0$ 代入原式得 $k_2 \beta = 0$。左乘 $B$ 得：$B(k_2 \beta) = k_2 B\beta = k_2 (-\beta) = -k_2 \beta = 0$，所以 $k_2 \beta = 0$。由于 $\beta \neq 0$，得 $k_2 = 0$。
公式：B\beta = -\beta
提示：注意这里左乘B后得到 $-k_2 \beta = 0$，等价于 $k_2 \beta = 0$。
步骤 6/6
目标：结论：线性无关
由 $k_1 = k_2 = 0$ 知，$\alpha, \beta$ 线性无关。
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