上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
14．（15 分）设 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $m \times n$ 实矩阵，$B$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $(n-m) \times n$ 实矩阵，令
$$
V_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, V_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}
$$
已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明： $\mathbb{R}^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知 $C = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵，因此 $C$ 的秩为 $n$。$V_1 = \{X \in \mathbb{R}^n \mid AX = 0\}$，$V_2 = \{X \in \mathbb{R}^n \mid BX = 0\}$ 都是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。要证明 $\mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2$，即 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$。
提示：注意 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $(n-m) \times n$ 矩阵，因此 $C$ 是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
取任意 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $AX = 0$ 且 $BX = 0$，于是 $CX = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X = 0$。由于 $C$ 可逆，方程组 $CX = 0$ 只有零解，故 $X = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$CX = 0 \Rightarrow X = 0$（因为 $C$ 可逆）
提示：注意 $C$ 可逆意味着 $C$ 是满秩的，其零空间只有零向量。
步骤 3/6
目标：计算 $\dim V_1$ 和 $\dim V_2$
由秩-零化度定理，$\dim V_1 = n - \operatorname{rank}(A)$，$\dim V_2 = n - \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\dim \ker(A) = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩不超过 $m$。
步骤 4/6
目标：证明 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) = n$
由于 $C$ 可逆，$\operatorname{rank}(C) = n$。$C$ 的行向量由 $A$ 和 $B$ 的行向量组成，因此 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) \ge \operatorname{rank}(C) = n$。另一方面，$A$ 的行向量与 $B$ 的行向量线性无关（否则 $C$ 的行向量线性相关，与可逆矛盾），所以 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(C) = n$。
公式：$\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$（因为行向量组线性无关）
提示：注意 $A$ 和 $B$ 的行向量线性无关是因为 $C$ 的行向量线性无关，但 $A$ 和 $B$ 内部可能有线性相关，但整体行向量线性无关意味着 $A$ 的行向量与 $B$ 的行向量之间无线性关系。
步骤 5/6
目标：计算 $\dim V_1 + \dim V_2$
由步骤3和步骤4，$\dim V_1 + \dim V_2 = (n - \operatorname{rank}(A)) + (n - \operatorname{rank}(B)) = 2n - (\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)) = 2n - n = n$。
公式：$\dim V_1 + \dim V_2 = n$
提示：注意这里利用了 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) = n$。
步骤 6/6
目标：得出结论
由步骤2得 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，由步骤5得 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$，因此 $\mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2$。
公式：$V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $\dim V_1 + \dim V_2 = n \Rightarrow \mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2$
提示：注意直和的条件：子空间交为0且维数之和等于全空间维数。
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