上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6．多项式 $x^{3}-1$ 与 $x^{5}-1$ 的最大公因式为 1 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：因式分解两个多项式
首先，对 $x^3-1$ 和 $x^5-1$ 进行因式分解：
$$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$$
$$x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$
公式：$a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1)$
提示：注意因式分解公式的正确应用，不要遗漏因子。
步骤 2/6
目标：提取公因式
观察两个多项式的因式分解，它们都含有因子 $x-1$，因此 $x-1$ 是它们的公因式。
提示：公因式是每个多项式都含有的因式，这里 $x-1$ 是明显的公因式。
步骤 3/6
目标：检查其他因子是否可能为公因式
考虑 $x^2+x+1$ 是否整除 $x^5-1$。设 $\omega$ 满足 $\omega^2+\omega+1=0$，则 $\omega^3=1$ 且 $\omega\neq1$。计算 $\omega^5-1 = \omega^2-1 \neq 0$，所以 $x^2+x+1$ 不是 $x^5-1$ 的因式。
提示：利用单位根的性质可以快速判断整除性。
步骤 4/6
目标：检查另一个因子
考虑 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 是否整除 $x^3-1$。设 $\zeta$ 满足 $\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=0$，则 $\zeta^5=1$ 且 $\zeta\neq1$。计算 $\zeta^3-1 \neq 0$，所以 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 不是 $x^3-1$ 的因式。
提示：同样利用单位根，注意 $\zeta$ 是5次本原单位根。
步骤 5/6
目标：确定最大公因式
由于 $x-1$ 是公因式，且其他因子互素，因此 $x^3-1$ 与 $x^5-1$ 的最大公因式为 $x-1$。
提示：最大公因式是次数最高的公因式，这里 $x-1$ 是唯一的公因式。
步骤 6/6
目标：结论
因此，原题说法“最大公因式为1”是错误的，正确结果为 $x-1$。
提示：注意区分“最大公因式为1”与“有公因式 $x-1$”的区别。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。