上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．若 $U, V$ 时 $\mathbb{F}^{n}$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=n$ ，则 $\mathbb{F}^{n}=U \oplus V$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解命题条件
题目给出条件：$U, V$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的子空间，且 $\dim U + \dim V = n$。要判断是否一定有 $\mathbb{F}^n = U \oplus V$。
提示：注意直和的定义：$\mathbb{F}^n = U \oplus V$ 当且仅当 $U+V = \mathbb{F}^n$ 且 $U \cap V = \{0\}$。
步骤 2/5
目标：分析维数条件与直和的关系
由维数公式：$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$。若 $\dim U + \dim V = n$，则 $\dim(U+V) = n - \dim(U \cap V)$。要使得 $U+V = \mathbb{F}^n$，需要 $\dim(U+V) = n$，即 $\dim(U \cap V) = 0$，即 $U \cap V = \{0\}$。因此，维数条件仅保证 $\dim(U+V) = n - \dim(U \cap V)$，不能直接推出 $U \cap V = \{0\}$。
公式：$\dim(U+V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$
提示：注意维数公式中减号，不要忘记减去交的维数。
步骤 3/5
目标：构造反例1：交非零但和仍为全空间
在 $\mathbb{F}^2$ 中，取 $U = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{F}\}$，$V = \{(x,x) \mid x \in \mathbb{F}\}$。则 $\dim U = 1$，$\dim V = 1$，$\dim U + \dim V = 2 = n$。计算 $U \cap V$：若 $(x,0) = (y,y)$，则 $x=y$ 且 $0=y$，得 $x=y=0$，故 $U \cap V = \{(0,0)\}$。且 $U+V = \mathbb{F}^2$（因为任意 $(a,b)$ 可表示为 $(a-b,0)+(b,b)$），所以 $\mathbb{F}^2 = U \oplus V$ 成立。此例满足条件且结论成立。
提示：注意验证直和的两个条件：和等于全空间且交为零。
步骤 4/5
目标：构造反例2：交非零且和不是全空间
在 $\mathbb{F}^2$ 中，取 $U = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{F}\}$，$V = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{F}\}$，即 $U = V$。则 $\dim U = 1$，$\dim V = 1$，$\dim U + \dim V = 2 = n$。但 $U \cap V = U \neq \{0\}$，且 $U+V = U \neq \mathbb{F}^2$，所以 $\mathbb{F}^2 \neq U \oplus V$。此例满足条件但结论不成立。
提示：注意子空间相等时，交就是子空间本身，不是零空间。
步骤 5/5
目标：得出结论
由反例2可知，仅由 $\dim U + \dim V = n$ 不能保证 $\mathbb{F}^n = U \oplus V$，还需要额外条件如 $U \cap V = \{0\}$ 或 $U+V = \mathbb{F}^n$。因此原命题不一定成立。
提示：注意区分必要条件和充分条件：维数条件是直和的必要条件，但不是充分条件。
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