上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
16．（20 分）已知矩阵 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & B\end{array}\right)$ ，其中 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶实矩阵，$C$ 为 $m \times n$ 实矩阵，且 $A, B$ 实对称．证明或否定下列命题：
（1）如果 $D$ 正定，则 $A, B$ 可逆。
（2）如果 $D$ 正定，则 $B-C^{T} A^{-1} C$ 也正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解正定矩阵的定义和性质
正定矩阵 $D$ 满足：对任意非零向量 $z$，有 $z^T D z > 0$。特别地，$D$ 的所有顺序主子式大于零。
提示：注意正定矩阵的对称性：$D$ 正定则 $D$ 对称，但题目中 $D$ 由对称块 $A,B$ 构成，故 $D$ 对称。
步骤 2/8
目标：证明命题（1）：$A$ 可逆
由于 $D$ 正定，其前 $m$ 阶顺序主子式 $A$ 的行列式大于零，故 $A$ 可逆。实际上，$A$ 也是正定的：取 $z = (x^T, 0)^T$，其中 $x \neq 0$，则 $z^T D z = x^T A x > 0$。
公式：$x^T A x > 0$ 对所有非零 $x$ 成立
提示：顺序主子式正定是正定矩阵的必要条件，但这里直接由定义得到 $A$ 正定更简单。
步骤 3/8
目标：证明命题（1）：$B$ 可逆
取 $z = (0, y^T)^T$，其中 $y \neq 0$，则 $z^T D z = y^T B y > 0$，故 $B$ 正定，从而可逆。
公式：$y^T B y > 0$ 对所有非零 $y$ 成立
提示：注意 $B$ 是 $n$ 阶方阵，其正定性由 $D$ 正定直接推出。
步骤 4/8
目标：引入 Schur 补概念
对于分块矩阵 $D = \begin{pmatrix} A & C \\ C^T & B \end{pmatrix}$，当 $A$ 可逆时，定义 $B$ 的 Schur 补为 $S = B - C^T A^{-1} C$。
公式：$S = B - C^T A^{-1} C$
提示：Schur 补在分块矩阵的分解和正定性判断中常用。
步骤 5/8
目标：证明命题（2）：构造特殊向量
对任意非零 $y \in \mathbb{R}^n$，令 $x = -A^{-1} C y$，则 $z = (x^T, y^T)^T$ 非零。计算 $z^T D z$。
公式：$x = -A^{-1} C y$
提示：注意 $x$ 可能为零，但 $z$ 非零因为 $y \neq 0$。
步骤 6/8
目标：计算 $z^T D z$ 并化简
展开 $z^T D z = x^T A x + 2 x^T C y + y^T B y$。代入 $x = -A^{-1} C y$，得 $x^T A x = y^T C^T A^{-1} C y$，$2 x^T C y = -2 y^T C^T A^{-1} C y$，因此 $z^T D z = y^T (B - C^T A^{-1} C) y$。
公式：$z^T D z = y^T (B - C^T A^{-1} C) y$
提示：计算时注意矩阵乘法的顺序和对称性。
步骤 7/8
目标：由 $D$ 正定推出 Schur 补正定
由于 $D$ 正定，$z^T D z > 0$，故 $y^T (B - C^T A^{-1} C) y > 0$ 对所有非零 $y$ 成立，即 $B - C^T A^{-1} C$ 正定。
提示：这里利用了 $z$ 非零，且 $D$ 正定的定义。
步骤 8/8
目标：总结结论
命题（1）和（2）均成立。$D$ 正定蕴含 $A,B$ 可逆，且 Schur 补 $B - C^T A^{-1} C$ 正定。
提示：注意命题（1）中 $A,B$ 可逆是正定的推论，命题（2）是 Schur 补正定性的标准结论。
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