上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
9．对任意实矩阵 $A_{m \times n}$ ，都有 $E+A^{T} A$ 为正定矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并明确已知条件
题目要求证明：对任意实矩阵 $A_{m \times n}$，矩阵 $E + A^T A$ 是正定矩阵。其中 $E$ 是 $n \times n$ 单位矩阵，$A^T$ 是 $A$ 的转置。
提示：注意 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$A^T A$ 是 $n \times n$ 对称矩阵，$E$ 也是 $n \times n$ 单位矩阵。
步骤 2/5
目标：证明 $E + A^T A$ 是对称矩阵
由于 $(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$，所以 $A^T A$ 是对称矩阵。又 $E$ 是对称矩阵，因此 $E + A^T A$ 也是对称矩阵。
公式：$(A^T A)^T = A^T A$
提示：对称性是正定矩阵的必要条件，但这里只需验证即可。
步骤 3/5
目标：考虑二次型并展开
对任意非零列向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $\mathbf{x}^T (E + A^T A) \mathbf{x}$。展开得：
$$\mathbf{x}^T (E + A^T A) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T E \mathbf{x} + \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T \mathbf{x} + (A \mathbf{x})^T (A \mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|^2 + \|A \mathbf{x}\|^2.$$
公式：$\mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x} = (A \mathbf{x})^T (A \mathbf{x})$
提示：注意 $\mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x} = (A \mathbf{x})^T (A \mathbf{x})$ 利用了矩阵乘法的结合律。
步骤 4/5
目标：分析二次型的正定性
由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，$\|\mathbf{x}\|^2 > 0$。而 $\|A \mathbf{x}\|^2 \geq 0$，因此
$$\mathbf{x}^T (E + A^T A) \mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2 + \|A \mathbf{x}\|^2 > 0.$$
公式：$\|\mathbf{x}\|^2 > 0$ 当 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$
提示：注意 $\|A \mathbf{x}\|^2$ 可能为零（例如当 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 时），但 $\|\mathbf{x}\|^2$ 严格大于零，所以和仍大于零。
步骤 5/5
目标：得出结论
因为对任意非零实向量 $\mathbf{x}$，二次型 $\mathbf{x}^T (E + A^T A) \mathbf{x} > 0$，且 $E + A^T A$ 是对称矩阵，所以 $E + A^T A$ 是正定矩阵。
提示：正定矩阵的定义：对称矩阵且所有非零向量的二次型大于零。
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