上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二．判断题．每题 5 分，共 25 分．正确请说明理由，错误请举出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断第1题：向量组线性无关与线性表示的关系
若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 线性无关，假设存在某个向量 $\alpha_i$ 可由其余向量线性表示，即 $\alpha_i = \sum_{j \neq i} k_j \alpha_j$，则 $\alpha_i - \sum_{j \neq i} k_j \alpha_j = 0$，存在不全为零的系数（$\alpha_i$ 的系数为1），与线性无关矛盾。因此任意一个向量都不能由其余向量线性表示。
提示：注意线性无关的定义：只有全为零的系数才能使线性组合为零。
步骤 2/5
目标：判断第2题：幂等矩阵的特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf{x}$ 是对应的特征向量，则 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$。两边左乘 $A$ 得 $A^2\mathbf{x} = \lambda A\mathbf{x} = \lambda^2\mathbf{x}$。由 $A^2 = A$ 得 $\lambda^2\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$，即 $(\lambda^2 - \lambda)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，故 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
公式：$A^2 = A \Rightarrow \lambda^2 = \lambda$
提示：特征向量非零是推导的关键。
步骤 3/5
目标：判断第3题：正定矩阵的和
对任意非零列向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，由于 $A$ 和 $B$ 正定，有 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ 且 $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$。则 $\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x} > 0$，因此 $A+B$ 正定。
公式：$\mathbf{x}^T (A+B) \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{x}^T B \mathbf{x}$
提示：正定矩阵的定义要求对所有非零向量二次型大于零。
步骤 4/5
目标：判断第4题：实对称矩阵正定的判定
根据赫尔维茨定理，实对称矩阵 $A$ 正定当且仅当 $A$ 的所有顺序主子式大于零。因此，若 $A$ 是实对称且所有顺序主子式大于零，则 $A$ 正定。
提示：注意定理要求矩阵是实对称的，否则结论不一定成立。
步骤 5/5
目标：判断第5题：特征值全为零的矩阵是否为零矩阵
反例：$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算特征值：$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2$，特征值为 $0$（二重）。但 $A$ 不是零矩阵。因此原命题错误。
提示：特征值全为零的矩阵可能是幂零矩阵，不一定为零矩阵。
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