上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4．线性空间 $V$ 是由 3 阶实矩阵关于矩阵加法和数乘运算构成的实线性空间，记
$$
V_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}, V_{2}=\left\{\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} \mid a_{i j}=0, \forall i
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性空间V的维数
线性空间 $V$ 是所有3阶实矩阵构成的集合，维数为 $\dim V = 3 \times 3 = 9$。
提示：注意矩阵是3阶，所以有9个独立分量。
步骤 2/6
目标：计算子空间V1的维数
$V_1$ 是3阶反对称矩阵的子空间，满足 $A^T = -A$。反对称矩阵的主对角线元素为0，且上三角与下三角对应元素互为相反数，因此自由参数个数为 $\frac{3(3-1)}{2} = 3$，故 $\dim V_1 = 3$。
公式：反对称矩阵自由参数个数：$\frac{n(n-1)}{2}$
提示：注意主对角线元素必须为0，且上三角确定后下三角随之确定。
步骤 3/6
目标：计算子空间V2的维数
$V_2$ 是下三角矩阵（包括对角线）的子空间，满足 $i
公式：下三角矩阵非零元素个数：$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意包括对角线元素，不要漏算。
步骤 4/6
目标：求V1与V2的交集维数
求 $V_1 \cap V_2$：既是反对称又是下三角的矩阵。反对称要求 $a_{ij} = -a_{ji}$，下三角要求 $i
提示：注意反对称矩阵的对角线元素必须为0，且下三角条件结合反对称强制所有非对角线元素为0。
步骤 5/6
目标：应用维数公式求和空间的维数
由维数公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = 3+6-0=9$。
公式：维数公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$
提示：确保交集维数计算正确，否则和空间维数会出错。
步骤 6/6
目标：计算所求表达式的值
所求为 $\dim(V_1+V_2) + \dim(V_1 \cap V_2) = 9 + 0 = 9$。
提示：注意是求和，不是求差。
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