上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}-a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$时，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f = a x_1^2 - a x_2^2 + (a-1) x_3^2 + 2 x_1 x_3 - 2 x_2 x_3$ 对应的矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。根据二次型各项系数，得到 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 0 & -a & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵元素：$a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_i x_j$ 系数的一半。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $2x_1x_3$ 对应 $a_{13}=1$。
步骤 2/6
目标：分析规范形条件
规范形为 $y_1^2 - y_2^2$，说明二次型的秩为2，正惯性指数为1，负惯性指数为1，符号差为0。由于秩小于3，矩阵 $A$ 的行列式必须为0。
公式：规范形 $y_1^2 - y_2^2$ 对应秩 $r=2$，正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=1$。
提示：规范形中不含 $y_3$ 项，说明矩阵奇异。
步骤 3/6
目标：计算矩阵行列式并令其为零
计算 $\det(A)$：
$\det(A) = a \cdot \det\begin{pmatrix} -a & -1 \\ -1 & a-1 \end{pmatrix} - 0 + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & -a \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$= a[(-a)(a-1) - (-1)(-1)] + 1[0\cdot(-1) - (-a)\cdot1]$
$= a[-a(a-1) - 1] + a = a(-a^2 + a - 1) + a = -a^3 + a^2 - a + a = -a^3 + a^2 = a^2(1-a)$。
令 $\det(A)=0$，得 $a=0$ 或 $a=1$。
公式：行列式展开：$\det(A)=a^2(1-a)$。
提示：计算行列式时注意符号，尤其是代数余子式的符号。
步骤 4/6
目标：验证a=0时规范形是否为y1^2-y2^2
当 $a=0$ 时，$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$，秩为2。用配方法：
$f = 2x_1x_3 - 2x_2x_3 - x_3^2 = -x_3^2 + 2x_3(x_1-x_2) = -(x_3 - (x_1-x_2))^2 + (x_1-x_2)^2$。
令 $y_1 = x_1 - x_2$，$y_2 = x_3 - (x_1-x_2)$，则规范形为 $y_1^2 - y_2^2$，符合要求。
公式：配方法：$f = -(x_3 - (x_1-x_2))^2 + (x_1-x_2)^2$。
提示：配方法时注意完全平方的正确性。
步骤 5/6
目标：验证a=1时规范形是否为y1^2-y2^2
当 $a=1$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$，秩为2。顺序主子式：$\Delta_1=1>0$，$\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1<0$，$\Delta_3=0$，因此正惯性指数为1，负惯性指数为1，规范形为 $y_1^2 - y_2^2$。
公式：顺序主子式判别法：$\Delta_1>0$，$\Delta_2<0$，$\Delta_3=0$ 表明 $p=1,q=1$。
提示：顺序主子式只能判断非退化情况，但这里行列式为0，需结合秩判断。
步骤 6/6
目标：得出结论
当 $a=0$ 或 $a=1$ 时，二次型 $f$ 的规范形均为 $y_1^2 - y_2^2$。因此 $a$ 的值为 $0$ 或 $1$。
提示：注意两个值都满足条件，不要遗漏。
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