上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $U$ 是实内积空间 $V$ 上的一个线性变换的一个有限维不变子空间，则 $U$ 的正交补空间 $U^{\perp}$ 也是线性变换的不变子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题
题目声称：若 $U$ 是实内积空间 $V$ 上线性变换 $T$ 的有限维不变子空间，则 $U^\perp$ 也是 $T$ 的不变子空间。我们需要判断该命题是否成立。
提示：注意：命题中未对 $T$ 施加额外条件（如自伴、正交等），因此需考虑一般情况。
步骤 2/6
目标：尝试证明思路
假设命题成立，则对任意 $x \in U^\perp$，需证 $T(x) \in U^\perp$，即对任意 $y \in U$，有 $\langle T(x), y \rangle = 0$。由于 $U$ 是 $T$ 的不变子空间，$T(y) \in U$，且 $x \in U^\perp$，故 $\langle x, T(y) \rangle = 0$。但 $\langle T(x), y \rangle$ 与 $\langle x, T(y) \rangle$ 一般无直接关系，除非 $T$ 是自伴的。
公式：$\langle T(x), y \rangle = \langle x, T^*(y) \rangle$
提示：在一般内积空间中，$\langle T(x), y \rangle = \langle x, T^*(y) \rangle$，其中 $T^*$ 是 $T$ 的伴随。但题目未假设 $T$ 有伴随或 $T$ 是自伴的。
步骤 3/6
目标：构造反例
考虑 $V = \mathbb{R}^2$ 带标准内积，定义线性变换 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 为剪切变换：$T(a,b) = (a+b, b)$。取 $U = \{(a,0) \mid a \in \mathbb{R}\}$，则 $U$ 是 $T$ 的不变子空间，因为 $T(a,0) = (a,0) \in U$。
公式：$T(a,b) = (a+b, b)$
提示：验证 $U$ 的不变性：$T$ 将 $x$ 轴上的点仍映射到 $x$ 轴上。
步骤 4/6
目标：计算正交补
在标准内积下，$U^\perp = \{(0,b) \mid b \in \mathbb{R}\}$，即 $y$ 轴。因为 $\langle (a,0), (0,b) \rangle = 0$。
公式：$U^\perp = \{(0,b) \mid b \in \mathbb{R}\}$
提示：正交补的定义：$U^\perp = \{v \in V \mid \langle v, u \rangle = 0, \forall u \in U\}$。
步骤 5/6
目标：检验不变性
取 $x = (0,1) \in U^\perp$，则 $T(x) = T(0,1) = (0+1, 1) = (1,1)$。但 $(1,1) \notin U^\perp$，因为 $\langle (1,1), (1,0) \rangle = 1 \neq 0$。因此 $T(U^\perp) \not\subseteq U^\perp$，故 $U^\perp$ 不是 $T$ 的不变子空间。
公式：$T(0,1) = (1,1)$
提示：只需找到一个反例即可否定命题。
步骤 6/6
目标：结论
原命题不成立。在一般线性变换下，不变子空间的正交补不一定是不变子空间。若 $T$ 是正交变换或自伴变换，则结论成立。
提示：注意区分一般线性变换与特殊变换（如正交、自伴）的性质差异。
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