上海大学 2025年高等代数第0题

已知三阶矩阵 $A$ 的行列式因子为 $D_1(\lambda)=1$, $D_2(\lambda)=\lambda-2$, $D_3(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-3)^2$。不变因子 $d_i(\lambda)$ 由行列式因子之比得到：$d_1(\lambda)=D_1(\lambda)=1$, $d_2(\lambda)=D_2(\lambda)/D_1(\lambda)=\lambda-2$, $d_3(\lambda)=D_3(\lambda)/D_2(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-3)^2$。

不变因子为 $1$, $\lambda-2$, $(\lambda-2)(\lambda-3)^2$。将每个不变因子分解为不可约因式的幂，得到初等因子：从 $\lambda-2$ 得到 $\lambda-2$；从 $(\lambda-2)(\lambda-3)^2$ 得到 $\lambda-2$ 和 $(\lambda-3)^2$。因此初等因子为 $\lambda-2$, $\lambda-2$, $(\lambda-3)^2$。

初等因子 $\lambda-2$ 对应特征值2的1阶Jordan块 $J_1(2)$；另一个 $\lambda-2$ 也对应 $J_1(2)$；$(\lambda-3)^2$ 对应特征值3的2阶Jordan块 $J_2(3)$。注意：由于矩阵是三阶，但这里得到两个1阶块和一个2阶块，总阶数为 $1+1+2=4$，与题目中三阶矩阵矛盾？实际上，行列式因子 $D_3(\lambda)$ 是4次多项式，说明矩阵是4阶？题目说三阶矩阵，但行列式因子最高次为4，可能题目有误。但按给定数据，Jordan标准形应为4阶矩阵。

Jordan标准形由Jordan块组成：$J_1(2)=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}$, $J_1(2)=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}$, $J_2(3)=\begin{pmatrix}3 & 1\\0 & 3\end{pmatrix}$。将它们排列成块对角矩阵： \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] 注意：题目中答案给出的矩阵是5阶，但根据初等因子应为4阶。这里按标准步骤给出4阶形式。