上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3．设 5 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，且 $r(A)=4$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意，提取已知条件
已知 $A$ 是5阶矩阵，各行元素之和为0，且 $r(A)=4$。需要求 $AX=0$ 的通解。
提示：注意矩阵阶数和秩的关系，以及各行元素之和为0的含义。
步骤 2/5
目标：利用各行元素之和为0构造非零解
由于 $A$ 的各行元素之和为0，即对任意行 $i$，有 $\sum_{j=1}^5 a_{ij}=0$。令 $\xi = (1,1,1,1,1)^T$，则 $A\xi = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^5 a_{1j} \\ \sum_{j=1}^5 a_{2j} \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^5 a_{5j} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$，所以 $\xi$ 是 $AX=0$ 的一个非零解。
公式：$A\xi = 0$
提示：确保理解各行元素之和为0等价于 $A$ 乘以全1向量等于零向量。
步骤 3/5
目标：确定基础解系所含向量个数
对于 $n$ 元齐次线性方程组 $AX=0$，基础解系所含向量个数为 $n - r(A)$。这里 $n=5$，$r(A)=4$，所以个数为 $5-4=1$。
公式：$\text{基础解系个数} = n - r(A)$
提示：注意 $n$ 是未知数的个数，即矩阵的列数。
步骤 4/5
目标：得出通解形式
由于基础解系只含一个向量，且 $\xi$ 是一个非零解，因此 $\xi$ 就是基础解系。通解为 $X = k \xi$，其中 $k$ 为任意常数。
公式：$X = k \xi$
提示：通解中常数 $k$ 可以是任意实数，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，$AX=0$ 的通解为 $X = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ k \in \mathbb{R}$。
提示：答案应写成向量形式，并注明 $k$ 为任意常数。
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