上海大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
7．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，则 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{1}+2 \alpha_{3}$ 也线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定线性组合为零
设 $k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2-\alpha_3)+k_3(\alpha_1+2\alpha_3)=0$，其中 $k_1,k_2,k_3$ 为实数。
提示：注意线性组合的系数是任意实数，不要遗漏任何项。
步骤 2/6
目标：整理合并同类项
展开并合并：$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(-k_2+2k_3)\alpha_3=0$。
提示：合并时注意每个向量前的系数，不要混淆。
步骤 3/6
目标：利用线性无关性得到方程组
由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以系数全为零：
\[
\begin{cases}
k_1 + k_3 = 0 \\
k_1 + k_2 = 0 \\
-k_2 + 2k_3 = 0
\end{cases}
\]
公式：线性无关的定义：若 $c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n=0$，则所有 $c_i=0$。
提示：只有线性无关时才能推出系数全为零，这是关键。
步骤 4/6
目标：解方程组（代入法）
由第一式得 $k_3 = -k_1$，代入第二式得 $k_2 = -k_1$，再代入第三式：$-(-k_1)+2(-k_1)=k_1-2k_1=-k_1=0$，所以 $k_1=0$。
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：得到所有系数为零
由 $k_1=0$ 得 $k_2=0$，$k_3=0$。因此方程组只有零解。
提示：确保所有系数都为零，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：得出结论
因为只有零解，所以向量组 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_1+2\alpha_3$ 线性无关。
提示：结论要明确：线性无关。
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