上海大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$
（2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将正定矩阵A分解为PP^T
由于A是正定实对称矩阵，存在正交矩阵Q使得$A = Q \Lambda Q^T$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，且$\lambda_i > 0$。令$\Lambda^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})$，则$A = Q \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2} Q^T = (Q \Lambda^{1/2})(Q \Lambda^{1/2})^T$。取$P = Q \Lambda^{1/2}$，则P可逆且$A = PP^T$。
公式：A = Q \Lambda Q^T, \quad P = Q \Lambda^{1/2}
提示：注意正交矩阵Q满足$Q^T = Q^{-1}$，且$\Lambda^{1/2}$是对角线元素为正的对角矩阵。
步骤 2/6
目标：将B同时对角化
考虑$P^{-1} B (P^{-1})^T$，由于B是实对称矩阵，该矩阵也是实对称的，故存在正交矩阵R使得$P^{-1} B (P^{-1})^T = R \operatorname{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n) R^T$。于是$B = P R \operatorname{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n) R^T P^T$。令$\tilde{P} = P R$，则$\tilde{P}$可逆，且$A = P P^T = P R R^T P^T = \tilde{P} \tilde{P}^T$，$B = \tilde{P} \operatorname{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n) \tilde{P}^T$。将$\tilde{P}$仍记为P，即得结论。
公式：P^{-1} B (P^{-1})^T = R \operatorname{diag}(\mu_i) R^T
提示：注意$P^{-1} B (P^{-1})^T$是实对称矩阵，因此可以正交对角化。
步骤 3/6
目标：将A+B表示为合同形式
由(1)知，存在可逆矩阵P使得$A = PP^T$，$B = P \operatorname{diag}(\mu_i) P^T$。则$A+B = PP^T + P \operatorname{diag}(\mu_i) P^T = P (I + \operatorname{diag}(\mu_i)) P^T$。
公式：A+B = P (I + \operatorname{diag}(\mu_i)) P^T
提示：注意矩阵加法与乘法分配律。
步骤 4/6
目标：推导A+B正定的条件
由于P可逆，$A+B$正定当且仅当$I + \operatorname{diag}(\mu_i)$正定。而$I + \operatorname{diag}(\mu_i)$是对角矩阵，其正定当且仅当所有对角线元素$1+\mu_i > 0$，即$\mu_i > -1$对所有i成立。
公式：I + \operatorname{diag}(\mu_i) \text{ 正定 } \iff 1+\mu_i > 0 \iff \mu_i > -1
提示：对角矩阵正定的充要条件是对角线元素全为正。
步骤 5/6
目标：计算A^{-1}B的特征值
计算$A^{-1}B$：$A^{-1} = (PP^T)^{-1} = P^{-T} P^{-1}$，所以$A^{-1}B = P^{-T} P^{-1} \cdot P \operatorname{diag}(\mu_i) P^T = P^{-T} \operatorname{diag}(\mu_i) P^T$。因此$A^{-1}B$相似于$\operatorname{diag}(\mu_i)$，其特征值为$\mu_i$。
公式：A^{-1}B = P^{-T} \operatorname{diag}(\mu_i) P^T
提示：注意$P^{-T}$表示$(P^{-1})^T$，且相似矩阵有相同特征值。
步骤 6/6
目标：建立等价条件
由前两步，$A+B$正定当且仅当$\mu_i > -1$对所有i成立，而$\mu_i$是$A^{-1}B$的特征值。因此$A+B$正定的充要条件是$A^{-1}B$的特征值大于-1。
提示：注意特征值条件必须对所有特征值成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。