上海理工大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x) 、 g(x)$ 为两个多项式，已知 $\displaystyle x^{2}+x+1 \mid f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ，求 $\displaystyle f(1)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入单位根
设 $\omega = e^{2\pi i/3}$，则 $\omega^3=1$ 且 $\omega^2+\omega+1=0$。$\omega$ 和 $\omega^2$ 是 $x^2+x+1=0$ 的两个根。
公式：$\omega^3=1$, $\omega^2+\omega+1=0$
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，满足 $\omega^3=1$ 且 $\omega\neq1$。
步骤 2/7
目标：利用整除条件得到根的性质
已知 $x^2+x+1 \mid f(x^3)+x g(x^3)$，所以 $x^2+x+1$ 的根 $\omega$ 和 $\omega^2$ 也是多项式 $f(x^3)+x g(x^3)$ 的根，即 $f(\omega^3)+\omega g(\omega^3)=0$ 和 $f(\omega^6)+\omega^2 g(\omega^6)=0$。
公式：若 $p(x) \mid q(x)$，则 $p(x)$ 的根都是 $q(x)$ 的根
提示：注意 $\omega^3=1$，$\omega^6=(\omega^3)^2=1$。
步骤 3/7
目标：代入 $x=\omega$ 化简
代入 $x=\omega$：$f(\omega^3)+\omega g(\omega^3)=f(1)+\omega g(1)=0$。
提示：利用 $\omega^3=1$ 简化。
步骤 4/7
目标：代入 $x=\omega^2$ 化简
代入 $x=\omega^2$：$f(\omega^6)+\omega^2 g(\omega^6)=f(1)+\omega^2 g(1)=0$。
提示：注意 $\omega^6=1$。
步骤 5/7
目标：建立方程组
得到关于 $f(1)$ 和 $g(1)$ 的方程组：
\begin{cases}
f(1)+\omega g(1)=0 \\
f(1)+\omega^2 g(1)=0
\end{cases}
提示：两个方程相减可消去 $f(1)$。
步骤 6/7
目标：求解方程组
两式相减得 $(\omega-\omega^2)g(1)=0$。由于 $\omega \neq \omega^2$，所以 $g(1)=0$。代入第一个方程得 $f(1)=0$。
公式：$(\omega-\omega^2)g(1)=0 \Rightarrow g(1)=0$
提示：注意 $\omega-\omega^2 \neq 0$，因为 $\omega$ 和 $\omega^2$ 是共轭复数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $f(1)=0$。
提示：最终答案。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。