上海理工大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2．计算 $n$ 阶行列式：
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & y & y & \cdots & y \\
z & x & y & \cdots & y \\
z & z & x & \cdots & y \\
. & . & . & . & .
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：列变换：将第2列到第n列都减去第1列
将第2列到第n列分别减去第1列，得到新的行列式：
\[
D_n = \begin{vmatrix}
x & y-x & y-x & \cdots & y-x \\
z & x-z & y-z & \cdots & y-z \\
z & 0 & x-z & \cdots & y-z \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
z & 0 & 0 & \cdots & x-z
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式列变换性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意第一列元素保持不变，其他列减去第一列时，第一行元素变为y-x，第二行第一列是z，第二列变为x-z，第三行及以后第二列变为0，以此类推。
步骤 2/7
目标：按第一列展开行列式
按第一列展开，得到两个子式：
\[
D_n = x \cdot \begin{vmatrix}
x-z & y-z & \cdots & y-z \\
0 & x-z & \cdots & y-z \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x-z
\end{vmatrix} + (-1)^{n+1} z \cdot \begin{vmatrix}
y-x & y-x & \cdots & y-x \\
x-z & y-z & \cdots & y-z \\
0 & x-z & \cdots & y-z \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x-z
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式按第一列展开公式：\( D = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} M_{i1} \)，其中\( M_{i1} \)是余子式。
提示：注意符号：第一列元素x位于(1,1)，符号为正；z位于(2,1)，符号为\((-1)^{2+1}=-1\)，但展开式中写为\((-1)^{n+1}z\)是因为余子式是n-1阶，且z的位置是第n行第1列，符号为\((-1)^{n+1}\)。
步骤 3/7
目标：计算第一个子式（上三角行列式）
第一个子式是上三角行列式，对角线上元素为\(x-z\)，共n-1个，因此值为\((x-z)^{n-1}\)。
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。
提示：注意该子式是n-1阶，且所有非对角线上方元素为y-z，但因为是上三角，所以不影响。
步骤 4/7
目标：化简第二个子式：列变换
第二个子式是n-1阶行列式，将其第2列到第n-1列都减去第1列，得到：
\[
\begin{vmatrix}
y-x & 0 & \cdots & 0 \\
x-z & y-x & \cdots & 0 \\
0 & x-z & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x-z
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式列变换性质。
提示：注意第1列保持不变，其他列减去第1列后，第1行除第1列外全变为0，第2行第2列变为y-x，第3行第3列变为y-x，等等。
步骤 5/7
目标：计算化简后的第二个子式
化简后的行列式是下三角行列式？实际上它是准三角，按第一行展开或直接观察：第一行只有第一个元素非零，其余为0，因此按第一行展开得\((y-x)\)乘以一个n-2阶子式，该子式为上三角，对角线上为\(x-z\)，共n-2个，所以值为\((y-x)(x-z)^{n-2}\)。
公式：行列式按行展开或三角行列式求值。
提示：注意该子式是n-1阶，展开后得到n-2阶子式，且符号为正。
步骤 6/7
目标：代入并整理表达式
将两个子式的结果代入展开式：
\[
D_n = x \cdot (x-z)^{n-1} + (-1)^{n+1} z \cdot (y-x)(x-z)^{n-2}.
\]
提取公因式\((x-z)^{n-2}\)：
\[
D_n = (x-z)^{n-2} \left[ x(x-z) + (-1)^{n+1} z(y-x) \right].
\]
公式：代数化简。
提示：注意当\(n=1\)或\(n=2\)时，公式可能不适用，需要单独验证。
步骤 7/7
目标：讨论特殊情况：n=1和n=2
当\(n=1\)时，行列式为\(D_1 = x\)。
当\(n=2\)时，原行列式为\(\begin{vmatrix} x & y \\ z & x \end{vmatrix} = x^2 - yz\)。
对于\(n \geq 3\)，使用上述公式。
公式：二阶行列式公式：\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)。
提示：注意公式中\((x-z)^{n-2}\)在\(n=2\)时指数为0，但公式可能不成立，因为展开过程中假设了n≥3。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。