上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 都满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$ ，且 $\displaystyle |A|<0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：因式分解多项式并分析特征值
将多项式 $f(x)=x^3-x^2-x+1$ 因式分解：$f(x)=(x-1)^2(x+1)$。由于 $f(A)=0$，$A$ 的极小多项式整除 $(x-1)^2(x+1)$，因此 $A$ 的特征值只能是 $1$ 或 $-1$，且 $1$ 的代数重数可能为 $2$（若Jordan块为2阶）或 $1$。
公式：$f(x)=(x-1)^2(x+1)$
提示：注意极小多项式可能包含重根，因此特征值 $1$ 可能对应Jordan块大小为2。
步骤 2/7
目标：利用行列式条件确定特征值符号
已知 $|A|<0$，而 $|A|$ 等于所有特征值的乘积（计重数）。若特征值全为 $1$，则 $|A|=1>0$；若全为 $-1$，则 $|A|=(-1)^n$，当 $n$ 为奇数时 $|A|=-1<0$，偶数时 $|A|=1>0$；若混合，则乘积正负取决于 $-1$ 的个数。由于 $|A|<0$，所以 $-1$ 的个数为奇数。
公式：$|A|=\prod \lambda_i$
提示：注意 $n$ 的奇偶性会影响全为 $-1$ 时的行列式符号。
步骤 3/7
目标：利用 $A^*$ 满足的多项式建立方程
假设 $A$ 可逆（因为 $|A|<0$ 非零），则 $A^*=|A|A^{-1}$。代入 $f(A^*)=0$ 得 $(|A|A^{-1})^3 - (|A|A^{-1})^2 - |A|A^{-1} + E = 0$。左乘 $A^3$ 得 $|A|^3 E - |A|^2 A - |A| A^2 + A^3 = 0$，即 $A^3 - |A| A^2 - |A|^2 A + |A|^3 E = 0$。
公式：$A^*=|A|A^{-1}$
提示：注意 $A$ 可逆是使用该关系的前提，若不可逆则需单独讨论，但此处 $|A|<0$ 排除了不可逆情况。
步骤 4/7
目标：与 $A$ 的多项式相减得到二次关系
已知 $A$ 满足 $A^3 - A^2 - A + E = 0$，与上一步得到的方程相减得 $(|A|-1)A^2 + (|A|^2-1)A - (|A|^3-1)E = 0$。因式分解为 $(|A|-1)[A^2 + (|A|+1)A - (|A|^2+|A|+1)E] = 0$。由于 $|A|<0$ 且 $|A|\neq 1$（否则 $|A|=1>0$ 矛盾），故 $|A|-1\neq 0$，从而 $A^2 + (|A|+1)A - (|A|^2+|A|+1)E = 0$。
公式：$(|A|-1)[A^2 + (|A|+1)A - (|A|^2+|A|+1)E] = 0$
提示：注意 $|A|$ 不能为 $1$，否则与 $|A|<0$ 矛盾。
步骤 5/7
目标：求最大公因式并确定 $|A|$
令 $g(x)=x^2+(|A|+1)x - (|A|^2+|A|+1)$，则 $A$ 同时满足 $f(A)=0$ 和 $g(A)=0$，故极小多项式整除 $\gcd(f,g)$。计算 $g(1)=1-|A|^2$，$g(-1)=-(|A|+1)^2$。由于 $|A|<0$，若 $|A|\neq -1$，则 $g(1)\neq 0$ 且 $g(-1)\neq 0$，从而 $\gcd(f,g)=1$，矛盾（除非 $A=0$，但 $A$ 可逆）。因此必有 $|A|=-1$，此时 $g(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$，$\gcd(f,g)=x^2-1$。
公式：$g(1)=1-|A|^2$, $g(-1)=-(|A|+1)^2$
提示：注意 $|A|=-1$ 是唯一可能，且需验证 $|A|=-1$ 时 $g(1)=0$ 或 $g(-1)=0$。
步骤 6/7
目标：推导 $A^2=E$ 并总结特征值
由 $|A|=-1$ 代入 $g(x)$ 得 $g(x)=x^2-1$，故 $A^2=E$。结合 $f(A)=0$ 即 $(A-E)^2(A+E)=0$，由 $A^2=E$ 得 $(A-E)(A+E)=0$，因此 $A$ 的极小多项式为 $x^2-1$，无重根，故 $A$ 可对角化，特征值仅为 $\pm 1$。又 $|A|=-1$，故 $-1$ 的个数为奇数。
公式：$A^2=E$
提示：注意 $A^2=E$ 意味着 $A$ 是对合矩阵，且特征值 $\pm 1$ 对应的代数重数等于几何重数。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，$A$ 必须满足 $A^2=E$ 且 $|A|=-1$，即 $A$ 是对合矩阵，行列式为 $-1$。其特征值为 $1$ 和 $-1$，且 $-1$ 的代数重数为奇数。
提示：注意不可逆情况被 $|A|<0$ 排除，因此结论唯一。
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