📝 上海财经大学 2026年高等代数真题

1．$a, b$ 为何值时，方程组有解？

2．当方程组有解时，求出所有解．

1．令 $W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 中的第一行元素全为 0 的矩阵构成的集合，求证：$W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的子空间．

2．设 $V$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的子空间，且 $V$ 中的非零矩阵可逆，求证：$V$ 的维数小于等于 $n$ ．

1．求证：$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的秩等于 2 当且仅当 $a, b, c$ 不全相等．

2．当 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的秩等于 2 时，求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的正、负惯性指数．

1．求 $|A|$ ．

2．求证：矩阵 $A$ 可以对角化．

1．证明：$V$ 是 $\sigma$ 下构成的一个 $\mathbb{R}$ 上的内积空间．

2．设 $V_{1}$ 是由全体对称矩阵构成的子空间，$V_{2}$ 是由全体反对称矩阵构成的子空间，证明：$V_{1}$ 是 $V_{2}$ 的正交补空间．

1．求 $A$ 的 Jordan 标准型 J．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

3．求 $A$ 的极小多项式．

十。（20分）设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其特征多项式为 $f(\lambda)$ 。证明以下 3 个结论等价：
（1）$V$ 只有平凡的 $\varphi$－不变子空间。
（2）对任意非零向量 $\alpha \in V$ ，都有 $V=L\left(\alpha, \varphi(\alpha), \varphi^{2}(\alpha), \cdots\right)$ ．
（3）$f(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式。

七．（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 都满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$ ，且 $\displaystyle |A|<0$ ．

三．（15 分）设 $\displaystyle a, b$ 是常数，且有下列线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+3 x_{2}-a x_{3}=2, \\
x_{1}+4 x_{2}+a x_{3}=3+2 b, \\
3 x_{1}+11 x_{2}+(3-2 a) x_{3}=8+b .
\end{array}\right.
$$

九．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．

二．（15分）计算下列矩阵的行列式：

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
2 & x+1 & x+1 & \cdots & x+1 \\
2 & x+2 & x & \cdots & x \\
2 & x & x+3 & \cdots & x \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
2 & x & x & \cdots & x+n
\end{array}\right) .
$$

五．（15 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上 $n$ 阶矩阵全体．

八．（15 分）设 $\displaystyle V=M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上 $n$ 阶矩阵全体，定义 $\displaystyle \sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \sigma(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{\mathrm{T}}\right)$ ．

六．（15 分）假设 $\displaystyle a, b, c$ 是不全为零的实数，已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)\left(a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}\right)$ ．

四．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $\displaystyle A B$ 满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{2025}+x+1$ ，求证：$\displaystyle I+A B$可逆．