上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle V=M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上 $n$ 阶矩阵全体，定义 $\displaystyle \sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \sigma(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{\mathrm{T}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证双线性性
对于任意 $A, B, C \in V$ 和 $\lambda \in \mathbb{R}$，有
\[
\sigma(A + B, C) = \operatorname{tr}((A+B)C^{\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(AC^{\mathrm{T}} + BC^{\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(AC^{\mathrm{T}}) + \operatorname{tr}(BC^{\mathrm{T}}) = \sigma(A, C) + \sigma(B, C),
\]
\[
\sigma(\lambda A, B) = \operatorname{tr}((\lambda A)B^{\mathrm{T}}) = \lambda \operatorname{tr}(AB^{\mathrm{T}}) = \lambda \sigma(A, B).
\]
类似地，可验证第二变元的线性性。因此 $\sigma$ 是双线性型。
公式：\sigma(A+B,C)=\sigma(A,C)+\sigma(B,C), \sigma(\lambda A,B)=\lambda\sigma(A,B)
提示：注意迹的线性性质：$\operatorname{tr}(X+Y)=\operatorname{tr}(X)+\operatorname{tr}(Y)$，$\operatorname{tr}(\lambda X)=\lambda\operatorname{tr}(X)$。
步骤 2/5
目标：验证对称性
对于任意 $A, B \in V$，有
\[
\sigma(A, B) = \operatorname{tr}(AB^{\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}((AB^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(BA^{\mathrm{T}}) = \sigma(B, A),
\]
故 $\sigma$ 是对称双线性型。
公式：\operatorname{tr}(AB^{\mathrm{T}})=\operatorname{tr}(BA^{\mathrm{T}})
提示：注意矩阵转置的性质：$(AB^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=BA^{\mathrm{T}}$，且迹在转置下不变。
步骤 3/5
目标：验证正定性
对于任意 $A \in V$，设 $A = (a_{ij})$，则
\[
\sigma(A, A) = \operatorname{tr}(AA^{\mathrm{T}}) = \sum_{i=1}^{n} (AA^{\mathrm{T}})_{ii} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} a_{ik} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a_{ik}^{2} \geq 0,
\]
且等号成立当且仅当所有 $a_{ik}=0$，即 $A=0$。因此 $\sigma$ 是正定对称双线性型，即内积。
公式：\sigma(A,A)=\sum_{i,k}a_{ik}^2
提示：注意 $AA^{\mathrm{T}}$ 的对角线元素是 $A$ 的行向量的平方和，因此非负且仅当 $A=0$ 时为零。
步骤 4/5
目标：求标准正交基
考虑 $V$ 的自然基：矩阵单位 $E_{ij}$（第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1，其余为0），$i,j=1,\dots,n$。计算内积：
\[
\sigma(E_{ij}, E_{kl}) = \operatorname{tr}(E_{ij} E_{kl}^{\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(E_{ij} E_{lk}) = \delta_{jk} \delta_{il},
\]
其中 $\delta$ 是 Kronecker 符号。因此不同矩阵单位正交，且 $\sigma(E_{ij}, E_{ij})=1$，故 $\{E_{ij}\}$ 已是标准正交基。
公式：\sigma(E_{ij},E_{kl})=\delta_{jk}\delta_{il}
提示：注意 $E_{ij}E_{lk}$ 只有当 $j=l$ 时非零，且结果等于 $\delta_{jl}E_{ik}$，其迹为 $\delta_{jl}\delta_{ik}$。
步骤 5/5
目标：总结
综上所述，$\sigma$ 是 $V$ 上的一个内积，且 $\{E_{ij} \mid i,j=1,\dots,n\}$ 是一组标准正交基。
提示：标准正交基的验证需检查正交性和单位长度。
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