上海财经大学 2026年高等代数第0题

二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = a x_1^2 + b x_2^2 + c x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 对应的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $A_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$A_{ij}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix}$。

矩阵的秩为2当且仅当行列式为0且秩不为1或0。由于矩阵是3阶，秩为2等价于行列式为0且至少有一个2阶子式非零。先计算行列式：$\det(A) = a(bc-1) - 1(c-1) + 1(1-b) = abc - a - c + 1 + 1 - b = abc - a - b - c + 2$。令 $\det(A)=0$ 得 $abc - a - b - c + 2 = 0$。

秩为1要求所有2阶子式为0。考虑左上角2阶子式 $\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{vmatrix} = ab-1=0$，得 $ab=1$。类似地，$ac=1$，$bc=1$。解得 $a=b=c=\pm1$。但 $a=b=c=1$ 时 $\det(A)=2\neq0$，$a=b=c=-1$ 时 $\det(A)=2\neq0$，故秩不可能为1。秩为0要求 $A=0$，显然不可能。因此秩为2当且仅当 $\det(A)=0$。

若 $a=b=c$，则 $abc - a - b - c + 2 = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)$。令其为零得 $a=1$ 或 $a=-2$。$a=1$ 时 $\det(A)=2\neq0$，秩为3；$a=-2$ 时 $\det(A)=0$，且此时 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，其秩为2（行和为0，且有两行线性无关）。因此 $a=b=c=-2$ 时秩为2但全相等，所以原命题“秩等于2当且仅当 $a,b,c$ 不全相等”错误。

秩为2当且仅当 $\det(A)=0$，即 $abc - a - b - c + 2 = 0$。该条件包含 $a=b=c=-2$ 的情况，因此原命题不成立。正确表述应为：秩等于2当且仅当 $abc - a - b - c + 2 = 0$。