上海财经大学 2026年高等代数第0题

假设 $V$ 只有平凡的 $\varphi$-不变子空间，即 $\{0\}$ 和 $V$ 本身。对任意非零向量 $\alpha \in V$，考虑由 $\alpha$ 生成的循环子空间 $W = L(\alpha, \varphi(\alpha), \varphi^2(\alpha), \cdots)$。易见 $W$ 是 $\varphi$-不变的，且 $\alpha \neq 0$ 意味着 $W \neq \{0\}$。由假设，$W$ 只能是 $V$，故 $V = L(\alpha, \varphi(\alpha), \varphi^2(\alpha), \cdots)$。

假设 (2) 成立。设 $f(\lambda)$ 的特征多项式，且 $f(\lambda) = g(\lambda)h(\lambda)$，其中 $g(\lambda), h(\lambda) \in \mathbb{F}[\lambda]$ 且次数均大于 0。由 Cayley-Hamilton 定理，$f(\varphi)=0$，故 $g(\varphi)h(\varphi)=0$。

若 $g(\varphi)$ 不是可逆的，则存在非零向量 $\alpha \in \ker g(\varphi)$。那么 $g(\varphi)(\alpha)=0$。考虑由 $\alpha$ 生成的循环子空间 $W = L(\alpha, \varphi(\alpha), \varphi^2(\alpha), \cdots)$。由于 $g(\varphi)(\alpha)=0$，$\alpha$ 的极小多项式整除 $g(\lambda)$，因此 $\dim W \leq \deg g < n$。但由 (2)，$W = V$，矛盾。故 $g(\varphi)$ 可逆。同理，$h(\varphi)$ 可逆。但 $g(\varphi)h(\varphi)=0$，两边左乘 $g(\varphi)^{-1}$ 得 $h(\varphi)=0$，从而 $h(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的零化多项式，故 $f(\lambda)$ 的次数 $n \leq \deg h$，但 $\deg h < n$，矛盾。因此 $f(\lambda)$ 不可约。

假设 $f(\lambda)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式。设 $W$ 是 $\varphi$-不变子空间，且 $W \neq \{0\}$。取非零向量 $\alpha \in W$，则 $\alpha$ 的极小多项式 $m_\alpha(\lambda)$ 整除 $f(\lambda)$（因为 $f(\varphi)(\alpha)=0$）。

由于 $f(\lambda)$ 不可约，$m_\alpha(\lambda) = f(\lambda)$ 或 $m_\alpha(\lambda) = 1$（但 $\alpha \neq 0$ 时 $m_\alpha$ 次数至少为 1），故 $m_\alpha(\lambda) = f(\lambda)$。因此 $\dim L(\alpha, \varphi(\alpha), \cdots) = \deg f = n$，从而 $L(\alpha, \varphi(\alpha), \cdots) = V$。但 $W$ 包含 $\alpha$ 且是 $\varphi$-不变的，故 $L(\alpha, \varphi(\alpha), \cdots) \subseteq W$，于是 $V \subseteq W$，即 $W = V$。所以 $V$ 只有平凡的 $\varphi$-不变子空间。