上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上 $n$ 阶矩阵全体．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：验证加法封闭性
对于任意 $A, B \in M_n(\mathbb{R})$，$A+B$ 的每个元素是 $A$ 和 $B$ 对应元素之和，仍为实数，因此 $A+B \in M_n(\mathbb{R})$。
提示：注意矩阵加法是对应元素相加，结果矩阵的阶数不变。
步骤 2/8
目标：验证加法结合律和交换律
由于实数加法满足结合律和交换律，对任意 $A, B, C \in M_n(\mathbb{R})$，有 $(A+B)+C = A+(B+C)$ 和 $A+B = B+A$。
提示：矩阵加法律直接继承自实数加法律，无需额外证明。
步骤 3/8
目标：验证零元和负元存在
零矩阵 $O$（所有元素为0）满足 $A+O = A$。对任意 $A$，其负元 $-A$（每个元素取相反数）满足 $A+(-A)=O$。
提示：零矩阵和负元都是唯一确定的。
步骤 4/8
目标：验证数乘封闭性
对于任意 $k \in \mathbb{R}$ 和 $A \in M_n(\mathbb{R})$，$kA$ 的每个元素是 $k$ 乘以 $A$ 的对应元素，仍为实数，因此 $kA \in M_n(\mathbb{R})$。
提示：数乘是标量与矩阵每个元素相乘。
步骤 5/8
目标：验证数乘结合律和分配律
对任意 $k, l \in \mathbb{R}$ 和 $A, B \in M_n(\mathbb{R})$，有 $(kl)A = k(lA)$，$k(A+B) = kA + kB$，$(k+l)A = kA + lA$，以及 $1 \cdot A = A$。这些性质均来自实数运算律。
提示：注意数乘分配律有两个：一个关于矩阵加法，一个关于标量加法。
步骤 6/8
目标：构造标准基并证明线性无关
定义矩阵 $E_{ij}$（$i,j=1,\dots,n$）为第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1，其余为0。设有线性组合 $\sum_{i,j} a_{ij} E_{ij} = O$，则每个位置 $(i,j)$ 上的元素为 $a_{ij}=0$，故所有系数为零，因此 $\{E_{ij}\}$ 线性无关。
公式：\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} E_{ij} = O \Rightarrow a_{ij}=0, \forall i,j
提示：线性无关的证明要利用每个位置独立。
步骤 7/8
目标：证明任意矩阵可由标准基线性表示
任意 $A = (a_{ij}) \in M_n(\mathbb{R})$ 可唯一表示为 $A = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} E_{ij}$，因此 $\{E_{ij}\}$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 的一组基。
公式：A = \sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}
提示：表示的唯一性由系数唯一确定。
步骤 8/8
目标：得出维数结论
标准基含有 $n^2$ 个矩阵，故 $M_n(\mathbb{R})$ 的维数为 $n^2$。
公式：\dim M_n(\mathbb{R}) = n^2
提示：维数等于基中向量的个数。
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