上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $V_{1}$ 是由全体对称矩阵构成的子空间，$V_{2}$ 是由全体反对称矩阵构成的子空间，证明：$V_{1}$ 是 $V_{2}$ 的正交补空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义空间与内积
设 $V$ 是全体 $n \times n$ 实矩阵构成的线性空间，定义内积为 $\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^T B)$。$V_1$ 为对称矩阵子空间：$A^T = A$；$V_2$ 为反对称矩阵子空间：$B^T = -B$。
公式：\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^T B)
提示：注意内积定义中使用了转置，确保内积的正定性。
步骤 2/5
目标：证明 $V_1 \perp V_2$
对任意 $A \in V_1$，$B \in V_2$，有 $\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^T B) = \operatorname{tr}(A B)$。利用迹的循环性质：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}((AB)^T) = \operatorname{tr}(B^T A^T) = \operatorname{tr}((-B) A) = -\operatorname{tr}(BA) = -\operatorname{tr}(AB)$。因此 $\operatorname{tr}(AB) = -\operatorname{tr}(AB)$，故 $\operatorname{tr}(AB)=0$，即 $\langle A, B \rangle = 0$。所以 $V_1 \subseteq V_2^\perp$。
公式：\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}((AB)^T) = \operatorname{tr}(B^T A^T)
提示：注意对称矩阵满足 $A^T=A$，反对称矩阵满足 $B^T=-B$，以及迹的循环性质：$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。
步骤 3/5
目标：证明 $V_2^\perp \subseteq V_1$（思路）
任取 $C \in V_2^\perp$，则对任意反对称矩阵 $B$ 有 $\langle C, B \rangle = 0$。特别地，取 $B = E_{ij} - E_{ji}$（$i
提示：选择适当的基向量是证明的关键，注意 $E_{ij}-E_{ji}$ 是反对称矩阵。
步骤 4/5
目标：计算内积并推导对称性
计算 $\langle C, E_{ij} - E_{ji} \rangle = \operatorname{tr}(C^T (E_{ij} - E_{ji})) = \operatorname{tr}(C^T E_{ij}) - \operatorname{tr}(C^T E_{ji})$。由于 $\operatorname{tr}(C^T E_{ij}) = (C^T)_{ji} = C_{ij}$，$\operatorname{tr}(C^T E_{ji}) = (C^T)_{ij} = C_{ji}$，所以 $\langle C, E_{ij} - E_{ji} \rangle = C_{ij} - C_{ji}$。由 $\langle C, B \rangle = 0$ 得 $C_{ij} - C_{ji} = 0$，即 $C_{ij} = C_{ji}$。因此 $C$ 对称，故 $C \in V_1$。所以 $V_2^\perp \subseteq V_1$。
公式：\operatorname{tr}(C^T E_{ij}) = (C^T)_{ji} = C_{ij}
提示：注意 $\operatorname{tr}(C^T E_{ij})$ 的结果是 $C^T$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素，即 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
步骤 5/5
目标：总结结论
由 $V_1 \subseteq V_2^\perp$ 和 $V_2^\perp \subseteq V_1$ 得 $V_1 = V_2^\perp$，即 $V_1$ 是 $V_2$ 的正交补空间。
提示：正交补空间的定义：$V_2^\perp = \{ A \in V \mid \langle A, B \rangle = 0, \forall B \in V_2 \}$。
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