上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $\displaystyle A B$ 满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{2025}+x+1$ ，求证：$\displaystyle I+A B$可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解已知条件
已知 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $AB = BA$，且 $AB$ 满足多项式 $f(x) = x^{2025} + x + 1$，即 $f(AB) = (AB)^{2025} + AB + I = 0$。
公式：$(AB)^{2025} + AB + I = 0$
提示：注意 $AB$ 满足多项式意味着将 $x$ 替换为 $AB$ 后得到零矩阵。
步骤 2/7
目标：目标转化
要证明 $I + AB$ 可逆，即存在矩阵 $C$ 使得 $(I+AB)C = I$。由已知等式出发，尝试将 $I$ 表示为 $(I+AB)$ 乘以某个矩阵。
提示：可逆的等价定义：存在矩阵 $C$ 使得 $(I+AB)C = I$。
步骤 3/7
目标：多项式除法思想
考虑多项式 $f(x) = x^{2025} + x + 1$ 除以 $x+1$ 的余式。由多项式除法，存在多项式 $q(x)$ 和常数 $r$ 使得 $x^{2025} + x + 1 = (x+1)q(x) + r$。
公式：$x^{2025} + x + 1 = (x+1)q(x) + r$
提示：注意余式 $r$ 是常数，因为除式是一次多项式。
步骤 4/7
目标：计算余数
代入 $x = -1$ 得 $(-1)^{2025} + (-1) + 1 = -1 -1 +1 = -1$，所以 $r = -1$。因此 $x^{2025} + x + 1 = (x+1)q(x) - 1$。
公式：$x^{2025} + x + 1 = (x+1)q(x) - 1$
提示：注意 $(-1)^{2025} = -1$，因为指数是奇数。
步骤 5/7
目标：代入矩阵
将 $x = AB$ 代入多项式等式，得 $(AB)^{2025} + AB + I = (AB+I)q(AB) - I$。
公式：$(AB)^{2025} + AB + I = (AB+I)q(AB) - I$
提示：注意 $I$ 是单位矩阵，代入时常数项 $1$ 变为 $I$。
步骤 6/7
目标：利用已知条件
由已知 $f(AB) = (AB)^{2025} + AB + I = 0$，代入上式得 $0 = (AB+I)q(AB) - I$，即 $(AB+I)q(AB) = I$。
公式：$(AB+I)q(AB) = I$
提示：注意移项时符号：$0 = (AB+I)q(AB) - I$ 推出 $(AB+I)q(AB) = I$。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $(I+AB)q(AB) = I$ 可知 $I+AB$ 可逆，且其逆矩阵为 $q(AB)$。
公式：$(I+AB)^{-1} = q(AB)$
提示：注意 $I+AB$ 与 $AB+I$ 相同，交换律成立。
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