上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（15 分）设 $\displaystyle a, b$ 是常数，且有下列线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+3 x_{2}-a x_{3}=2, \\
x_{1}+4 x_{2}+a x_{3}=3+2 b, \\
3 x_{1}+11 x_{2}+(3-2 a) x_{3}=8+b .
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
方程组对应的增广矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -a & 2 \\
1 & 4 & a & 3+2b \\
3 & 11 & 3-2a & 8+b
\end{pmatrix}
\]
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要遗漏负号。
步骤 2/6
目标：初等行变换（消去第一列）
进行行变换：\(R_2 - R_1\)，\(R_3 - 3R_1\)，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -a & 2 \\
0 & 1 & 2a & 1+2b \\
0 & 2 & 3 & 2+b
\end{pmatrix}
\]
提示：行变换时注意系数相乘的正确性，特别是第三行减去3倍第一行时，第三行第一列变为0。
步骤 3/6
目标：消去第三行第二列
进行行变换：\(R_3 - 2R_2\)，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -a & 2 \\
0 & 1 & 2a & 1+2b \\
0 & 0 & 3-4a & -3b
\end{pmatrix}
\]
提示：注意第三行第二列消去后，第三行第三列的计算：\(3 - 2 \cdot 2a = 3-4a\)，常数项：\(2+b - 2(1+2b) = 2+b-2-4b = -3b\)。
步骤 4/6
目标：讨论系数矩阵的秩：情况1（唯一解）
当 \(3-4a \neq 0\)，即 \(a \neq \frac{3}{4}\) 时，系数矩阵秩为3，方程组有唯一解。由第三行得：\((3-4a)x_3 = -3b\)，所以 \(x_3 = \frac{-3b}{3-4a}\)。代入第二行：\(x_2 + 2a x_3 = 1+2b\)，得 \(x_2 = 1+2b - 2a \cdot \frac{-3b}{3-4a} = 1+2b + \frac{6ab}{3-4a}\)。代入第一行：\(x_1 + 3x_2 - a x_3 = 2\)，得 \(x_1 = 2 - 3x_2 + a x_3\)。化简后得：
\[
x_1 = \frac{4a-3+3ab-18b}{3-4a},\quad x_2 = \frac{(1+2b)(3-4a)+6ab}{3-4a},\quad x_3 = \frac{-3b}{3-4a}
\]
公式：唯一解公式：\(x = A^{-1}b\)（此处用回代法）
提示：化简时注意通分和合并同类项，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：讨论情况2（无解或无穷多解）
当 \(3-4a = 0\)，即 \(a = \frac{3}{4}\) 时，增广矩阵变为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -\frac{3}{4} & 2 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & 1+2b \\
0 & 0 & 0 & -3b
\end{pmatrix}
\]
此时，若 \(-3b \neq 0\)，即 \(b \neq 0\)，则第三行对应方程 \(0 = -3b\)，矛盾，方程组无解。
若 \(-3b = 0\)，即 \(b = 0\)，则第三行全为零，方程组有无穷多解。
提示：注意区分无解和无穷多解的条件：当系数矩阵秩小于增广矩阵秩时无解，相等时有无穷多解。
步骤 6/6
目标：求解无穷多解的情况
当 \(a = \frac{3}{4}, b = 0\) 时，矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -\frac{3}{4} & 2 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
令 \(x_3 = t\)（自由变量），由第二行得：\(x_2 = 1 - \frac{3}{2}t\)，由第一行得：\(x_1 = 2 - 3(1 - \frac{3}{2}t) + \frac{3}{4}t = -1 + \frac{21}{4}t\)。所以通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ t
\begin{pmatrix}
\frac{21}{4} \\ -\frac{3}{2} \\ 1
\end{pmatrix},\quad t \in \mathbb{R}
\]
提示：自由变量通常取为参数，注意回代时系数的计算要准确。
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