上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．令 $W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 中的第一行元素全为 0 的矩阵构成的集合，求证：$W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确子空间定义
要证明 $W$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 的子空间，需验证 $W$ 满足子空间的三个条件：包含零向量、对加法封闭、对数乘封闭。
提示：子空间定义中的三个条件缺一不可。
步骤 2/5
目标：验证零矩阵属于W
零矩阵 $O$ 的所有元素均为 $0$，特别地，第一行元素全为 $0$，因此 $O \in W$。
提示：注意零矩阵是唯一的，且任何子空间必须包含零向量。
步骤 3/5
目标：验证加法封闭性
任取 $A, B \in W$，则 $A$ 和 $B$ 的第一行元素全为 $0$。设 $C = A + B$，则 $C$ 的第一行第 $j$ 列元素为 $a_{1j} + b_{1j} = 0 + 0 = 0$，故 $C$ 的第一行全为 $0$，即 $C \in W$。
公式：$(A+B)_{1j} = A_{1j} + B_{1j}$
提示：加法封闭性要求对任意两个W中的矩阵，其和仍在W中。
步骤 4/5
目标：验证数乘封闭性
任取 $A \in W$，$k \in \mathbb{R}$，则 $A$ 的第一行元素全为 $0$。设 $D = kA$，则 $D$ 的第一行第 $j$ 列元素为 $k \cdot a_{1j} = k \cdot 0 = 0$，故 $D$ 的第一行全为 $0$，即 $D \in W$。
公式：$(kA)_{1j} = k \cdot A_{1j}$
提示：数乘封闭性要求对任意实数k和W中矩阵，数乘结果仍在W中。
步骤 5/5
目标：得出结论
由子空间的定义，$W$ 满足所有条件，因此 $W$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 的子空间。
提示：注意子空间本身也是一个向量空间。
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