上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值
解特征方程 $\det(\lambda I - A)=0$，得到所有特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 及其代数重数。例如，若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则特征多项式为 $n$ 次多项式，根即为特征值。
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：注意特征值的重数，包括代数重数和几何重数。
步骤 2/6
目标：计算几何重数
对每个特征值 $\lambda_i$，计算 $\ker(\lambda_i I - A)$ 的维数，即几何重数 $g_i = n - \operatorname{rank}(\lambda_i I - A)$。若 $g_i$ 等于代数重数，则特征值对应的若尔当块均为1阶；否则需要求广义特征向量。
公式：$g_i = \dim\ker(\lambda_i I - A) = n - \operatorname{rank}(\lambda_i I - A)$
提示：几何重数等于线性无关的特征向量个数，不能超过代数重数。
步骤 3/6
目标：确定若尔当块结构
通过计算 $\operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^k)$ 随 $k$ 的变化，确定每个特征值的若尔当块大小和个数。具体地，大小为 $m$ 的若尔当块个数为 $\operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^{m-1}) - 2\operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^m) + \operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^{m+1})$。
公式：$\#(m\text{阶块}) = \operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^{m-1}) - 2\operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^m) + \operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^{m+1})$
提示：注意 $\operatorname{rank}((\lambda_i I - A)^0)=n$，且当 $k$ 足够大时秩稳定。
步骤 4/6
目标：构造若尔当链
对每个大小为 $m$ 的若尔当块，先解 $(\lambda_i I - A)^m v = 0$ 但 $(\lambda_i I - A)^{m-1} v \neq 0$，得到最高阶广义特征向量 $v_m$。然后递推：$v_{m-1} = (\lambda_i I - A) v_m$，$v_{m-2} = (\lambda_i I - A) v_{m-1}$，依此类推，得到链 $v_1, v_2, \dots, v_m$，其中 $v_1$ 是特征向量。
公式：$v_{k-1} = (\lambda_i I - A) v_k$
提示：确保每个链中的向量线性无关，且不同链的向量也线性无关。
步骤 5/6
目标：排列成矩阵 P
将所有若尔当链中的向量按列排列成矩阵 $P$。每个链内按 $v_1, v_2, \dots, v_m$ 顺序（即特征向量在前，广义特征向量在后），链之间按若尔当块在 $J$ 中的顺序排列。
公式：$P = [v_1^{(1)}, v_2^{(1)}, \dots, v_{m_1}^{(1)}, v_1^{(2)}, \dots]$
提示：注意顺序：若尔当块中特征向量在左边，广义特征向量在右边。
步骤 6/6
目标：验证结果
计算 $P^{-1}AP$，应得到若尔当标准形 $J$。若不一致，检查链的构造和顺序。
公式：$P^{-1}AP = J$
提示：验证时可以先计算 $AP$ 和 $PJ$，看是否相等。
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