上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．当方程组有解时，求出所有解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\]
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要写错顺序。
步骤 2/6
目标：行变换化为行阶梯形
进行行变换：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-R_1, R_3-R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3-2R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：行变换要逐步进行，避免计算错误。注意第三行减去第二行的两倍后全为零。
步骤 3/6
目标：判断解的存在性
系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩也为2，所以方程组有解。
提示：只有当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组才有解。
步骤 4/6
目标：确定自由变量
行阶梯形中主元列对应变量$x_1$和$x_2$，非主元列对应变量$x_3$，因此取$x_3$为自由变量。
提示：自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 5/6
目标：回代求解
由第二行得：$x_2 + 2x_3 = 1$，令$x_3 = t$，则$x_2 = 1 - 2t$。
由第一行得：$x_1 + x_2 + x_3 = 1$，代入得$x_1 = 1 - (1-2t) - t = t$。
提示：回代时从最后一行开始，逐步代入前面的方程。
步骤 6/6
目标：写出通解形式
解为：
\[
\begin{cases}
x_1 = t \\
x_2 = 1 - 2t \\
x_3 = t
\end{cases}
\]
其中$t$为任意实数。向量形式：
\[
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
\]
提示：注意特解是令自由变量为0得到的，齐次解是自由变量系数构成的向量。
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