上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $V$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的子空间，且 $V$ 中的非零矩阵可逆，求证：$V$ 的维数小于等于 $n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
设 $V$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 的子空间，且 $V$ 中所有非零矩阵均可逆。要证明 $\dim V \le n$。
提示：注意：非零矩阵可逆意味着零矩阵是唯一不可逆的矩阵。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 $\dim V > n$，则存在 $n+1$ 个线性无关的矩阵 $A_1, A_2, \dots, A_{n+1} \in V$。
提示：线性无关的矩阵个数等于维数。
步骤 3/6
目标：定义线性映射
对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，定义映射 $\varphi_x: V \to \mathbb{R}^n$ 为 $\varphi_x(A) = A x$。易证 $\varphi_x$ 是线性映射。
公式：$\varphi_x(A) = A x$
提示：验证线性性：$\varphi_x(\alpha A + \beta B) = (\alpha A + \beta B)x = \alpha A x + \beta B x = \alpha \varphi_x(A) + \beta \varphi_x(B)$。
步骤 4/6
目标：应用维数公式
由于 $\dim V = n+1$，$\dim \mathbb{R}^n = n$，由线性映射的维数公式：$\dim V = \dim \ker \varphi_x + \dim \operatorname{Im} \varphi_x$，且 $\dim \operatorname{Im} \varphi_x \le n$，所以 $\dim \ker \varphi_x \ge 1$。即存在非零矩阵 $B \in V$ 使得 $B x = 0$。
公式：$\dim V = \dim \ker \varphi_x + \dim \operatorname{Im} \varphi_x$
提示：注意：$\ker \varphi_x$ 是 $V$ 的子空间，$\operatorname{Im} \varphi_x$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。
步骤 5/6
目标：选取特殊向量构造矛盾
取 $x$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的标准基向量 $e_1, e_2, \dots, e_n$。对每个 $e_i$，存在非零矩阵 $B_i \in V$ 使得 $B_i e_i = 0$，即 $B_i$ 的第 $i$ 列为零。
提示：标准基向量 $e_i$ 只有第 $i$ 个分量为1，其余为0。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
由于 $B_i$ 非零且可逆，但 $B_i$ 的第 $i$ 列为零，则 $B_i$ 的列向量线性相关，故 $\det(B_i)=0$，与可逆矛盾。因此假设不成立，故 $\dim V \le n$。
提示：矩阵可逆当且仅当所有列向量线性无关。
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