上海财经大学 2026年高等代数第0题

将二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1+x_2+x_3)(a x_1+b x_2+c x_3)$ 展开： \[ f = a x_1^2 + b x_2^2 + c x_3^2 + (a+b)x_1x_2 + (a+c)x_1x_3 + (b+c)x_2x_3. \] 二次型矩阵 $A$ 是对称矩阵，满足 $f = x^T A x$，其中 $x=(x_1,x_2,x_3)^T$。矩阵元素为： \[ A_{11}=a,\ A_{22}=b,\ A_{33}=c,\ A_{12}=A_{21}=\frac{a+b}{2},\ A_{13}=A_{31}=\frac{a+c}{2},\ A_{23}=A_{32}=\frac{b+c}{2}. \] 因此 \[ A = \begin{pmatrix} a & \frac{a+b}{2} & \frac{a+c}{2} \\ \frac{a+b}{2} & b & \frac{b+c}{2} \\ \frac{a+c}{2} & \frac{b+c}{2} & c \end{pmatrix}. \]

二次型可分解为两个一次式的乘积：$f = (\alpha^T x)(\beta^T x)$，其中 $\alpha=(1,1,1)^T$，$\beta=(a,b,c)^T$。其矩阵 $A = \frac{1}{2}(\alpha\beta^T + \beta\alpha^T)$。秩等于向量组 $\alpha,\beta$ 的秩。 - 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关，即存在 $k$ 使得 $(a,b,c)=k(1,1,1)$，则 $a=b=c$，此时秩为1。 - 否则，$\alpha,\beta$ 线性无关，秩为2。 注意 $a,b,c$ 不全为零，故 $\beta \neq 0$。

二次型 $f$ 不是正定或负定的，因为它可以取到零和非零值。例如： - 取 $x=(1,-1,0)^T$，则 $f=0$。 - 取 $x=(1,0,0)^T$，则 $f=a$，符号取决于 $a$。 因此 $f$ 是不定的，除非 $a=b=c$ 且同号，此时 $f = a(x_1+x_2+x_3)^2$ 是半正定（$a>0$）或半负定（$a<0$）。

根据秩的情况求标准形： - 若 $a=b=c$，则 $f = a(x_1+x_2+x_3)^2$，作线性变换 $y_1 = x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2$，$y_3=x_3$，得标准形 $a y_1^2$。 - 否则，秩为2，且符号差为0（因为 $f$ 可化为 $y_1y_2$ 型，再通过旋转变换化为 $z_1^2 - z_2^2$）。具体地，可先作可逆线性变换 $\begin{cases} y_1 = x_1+x_2+x_3 \\ y_2 = a x_1+b x_2+c x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$，则 $f = y_1 y_2$，再令 $z_1 = \frac{y_1+y_2}{2}$，$z_2 = \frac{y_1-y_2}{2}$，得 $z_1^2 - z_2^2$。

二次型 $f$ 的秩 $r$ 为： \[ r = \begin{cases} 1, & \text{若 } a=b=c \\ 2, & \text{否则} \end{cases} \] 规范形为： - 当 $a=b=c$ 时，规范形为 $\operatorname{sgn}(a) y_1^2$（即 $y_1^2$ 若 $a>0$，$-y_1^2$ 若 $a<0$）。 - 否则，规范形为 $y_1^2 - y_2^2$（符号差为0）。 由于 $a,b,c$ 不全为零，一般情况下二次型是不定的。