上海财经大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．$a, b$ 为何值时，方程组有解？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵的形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & a+2 & 4 & b+3 \\
3 & 5 & 1 & a+8 & 5
\end{pmatrix}
\]
提示：注意常数项放在最后一列，不要遗漏或错位。
步骤 2/6
目标：行变换消去第一列
第3行减去2倍第1行，第4行减去3倍第1行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & a & 2 & b+1 \\
0 & 2 & -2 & a+5 & 2
\end{pmatrix}
\]
提示：行变换时注意常数项也要参与运算。
步骤 3/6
目标：行变换消去第二列
第3行减去第2行，第4行减去2倍第2行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a+1 & 0 & b \\
0 & 0 & 0 & a+1 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：注意第4行减去2倍第2行时，第4行第3列变为-2-2*(-1)=0，第4列变为a+5-2*2=a+1。
步骤 4/6
目标：讨论系数矩阵的秩
系数矩阵为前4列，其秩取决于参数a。
- 若 \(a+1 \neq 0\)，即 \(a \neq -1\)，则系数矩阵有4个非零行，秩为4。
- 若 \(a+1 = 0\)，即 \(a = -1\)，则系数矩阵后两行全零，秩为2。
提示：注意矩阵的秩等于非零行的行数。
步骤 5/6
目标：讨论增广矩阵的秩
增广矩阵包含最后一列。
- 当 \(a \neq -1\) 时，增广矩阵有4个非零行，秩为4。
- 当 \(a = -1\) 时，矩阵变为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
此时，若 \(b=0\)，则第三行全零，秩为2；若 \(b \neq 0\)，则第三行非零，秩为3。
提示：注意增广矩阵的秩与系数矩阵的秩比较时，要分别考虑参数。
步骤 6/6
目标：根据秩相等条件得出解的存在条件
方程组有解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
- 当 \(a \neq -1\) 时，两者秩均为4，方程组有唯一解。
- 当 \(a = -1\) 时，系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为2当且仅当 \(b=0\)，此时有无穷多解；若 \(b \neq 0\)，则秩为3，无解。
因此，方程组有解的条件是：\(a \neq -1\) 或 \((a = -1 \text{ 且 } b = 0)\)。
提示：注意区分唯一解和无穷多解，本题只要求有解，不要求唯一。
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