东北师范大学 2023年高等代数第1题

观察题目中的行列式：它缺少范德蒙德行列式中 $x_1^{n-1}, x_2^{n-1}, \dots, x_n^{n-1}$ 这一行，而多了一行 $x_1^n, x_2^n, \dots, x_n^n$。因此，原行列式可以看作是在范德蒙德行列式中将第 $n$ 行替换为 $x_1^n, \dots, x_n^n$ 的结果。

考虑 $n+1$ 阶范德蒙德行列式，增加一个变量 $t$： $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n & t \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 & t^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} & t^{n-1} \\ x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n & t^n \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \cdot \prod_{i=1}^n (t - x_i).$$ 将此行列式按最后一列展开，得到： $$\sum_{k=0}^n (-1)^{n+k} t^k M_{k+1, n+1} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \cdot \prod_{i=1}^n (t - x_i),$$ 其中 $M_{k+1, n+1}$ 是去掉第 $k+1$ 行和第 $n+1$ 列后的余子式。

注意 $M_{n, n+1}$ 是去掉第 $n$ 行（即 $x_1^{n-1}, \dots, x_n^{n-1}, t^{n-1}$ 行）和最后一列得到的 $n \times n$ 行列式。其行依次为：第1行（全1），第2行（$x_i$），...，第 $n-1$ 行（$x_i^{n-2}$），第 $n$ 行（$x_i^n$）。这正是原行列式 $D_n$。因此 $D_n = M_{n, n+1}$。

在展开式左边，$t^{n-1}$ 的系数来自 $k = n-1$ 项：$(-1)^{n+(n-1)} t^{n-1} M_{n, n+1} = (-1)^{2n-1} t^{n-1} D_n = - t^{n-1} D_n$。 右边 $\prod_{i=1}^n (t - x_i)$ 中 $t^{n-1}$ 的系数为 $-\sum_{i=1}^n x_i$，而 $\prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$ 与 $t$ 无关，所以右边 $t^{n-1}$ 的系数为 $\prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \cdot (-\sum_{i=1}^n x_i)$。

由系数相等得： $$- D_n = \left( -\sum_{i=1}^n x_i \right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$ 两边同时乘以 $-1$，得到： $$D_n = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$

因此，原行列式的值为： $$\boxed{\left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)}.$$